第五章 习题课 排列的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

习题课　排列的应用 [学习目标]　1.通过实例进一步理解排列的概念．　2.掌握几种具有限制条件的排列问题． 应用1　无限制条件的排列问题 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解析：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个不同元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法． (2)有7种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解析：(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法． 　　方法技巧 1.没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可． 2．典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；由排列的概念可知排列问题中元素不能重复选取． 3．若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取． 即时练1.某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语各一节课，剩下两节为自习课，则不同排课方法的种数是(　　) A．15 B．A C．35 D．53 B　换换换[把上午五节课看成“5个位置”，分别用1，2，3，4，5来表示，把语文、数学、英语看成“3个元素”，可看作是从1，2，3，4，5这5个位置中取出3个位置分给语文、数学、英语，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课方法的种数是A.故选B．] 应用2　特殊元素或特殊位置问题 甲、乙等6个人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站最右端，也不站最左端； 解析：(1)(位置分析法)　因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的5个人中任选2个人站在左、右两端，有A种站法，再让剩下的4个人站在中间的4个位置上，有A种站法．由分步乘法计数原理知，不同的站法共有AA＝480(种)． (2)甲、乙站在两端； 解析：(2)(元素分析法)　首先考虑特殊对象，先让甲、乙站在两端，有A种站法，再让其他4个人在中间4个位置进行全排列，有A种站法．根据分步乘法计数原理知，不同的站法共有AA＝48(种)． (3)甲不站最左端，乙不站最右端． 解析：(3)(间接法)　在排列时，先不考虑甲、乙站位的要求，有A种站法，甲在最左端的站法有A种，乙在最右端的站法有A种，而甲在最左端且乙在最右端的站法有A种，故不同的站法共有A－2A＋A＝504(种)． 　　方法技巧 “特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先． 一般从以下三种思路考虑 (1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素； (2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置； (3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．以上三种思路可以简化为下图： 一般地，当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决． 学生用书第124页 即时练2.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的数，则 (1)可以组成多少个六位奇数？ 解析：(1)(位置分析法)　分三步完成：第一步，填末位，有A种填法；第二步，填首位，有A种填法；第三步，填其他位，有A种填法．故可以组成的无重复数字的六位奇数共有AAA＝288(个)． (2)可以组成多少个不大于4 310的四位偶数？ 解析：(2)①当千位上排1，3时，从0，2，4中任选一个排在个位，其他各位上从剩下的四个数字中选择两个进行排列，有AAA种排法； ②当千位上排2时，从0，4中任选一个排在个位，然后从剩下的四个数字中选择两个进行排列，有AA种排法； ③当千位上排4时，形如4 0 ××，4 2××的偶数各有A个，形如4 1××的偶数有AA个，形如4 3××的符合要求的偶数只有4 310和4 302这两个． 故可以组成的不大于4 310的四位偶数共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个)． (3)可以组成多少个5的倍数的五位数？ 解析：(3)法一：(元素分析法)若个位上的数字是0，则从1，2，3，4，5中任意取出4个数字排在前四个位置就可以组成无重复数字的五位数且是5的倍数，即有A个满足条件的数； 若个位上的数字是5，则从1，2，3，4中任意取出一个数字排在首位上，有A种排法，然后从余下的4个数字中任意取出3个数字排在中间的3个位置上，有A种排法，故有AA个满足条件的数．由分类加法计数原理可知满足条件的五位数共有A＋AA＝216(个)． 法二：(间接法)个位上的数字是0或5，有A种排法，故可知总的排法有AA种，但其中包含了