第五章 培优增分6 排列、组合问题的破解技法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

排列、组合问题是高考的必考题，它联系实际、生动有趣，但题型多样、思路灵活，不易掌握．实践证明，掌握题型和解题方法、识别模式、熟练运用，是解决排列、组合应用题的有效途径．下面就谈一谈排列、组合应用题的解题技法． 技法1　特殊元素、特殊位置优先法 把1，2，3，…，9这九个数填写在如图所示的九宫格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下也依次增大．若数4固定在中心位置，则所有填写空格的方法共有________种． 解析：由题意知，1必须在左上格，9必须在右下格．在4的左方或上方只能填2，3，有A种填法.5，6，7，8的填法分为两类：①当7在右上格或左下格时，5，6，8的位置就确定了，有A种填法．②当7在4的下方或右方时，8的位置就确定了，剩下的两个空格5，6任意填，有AA种填法．根据分类加法计数原理与分步乘法计数原理可知，不同的填法共有A×(A＋AA)＝12(种)． 答案：12 　　方法技巧 解答含有特殊元素或位置问题的方法 若以元素为主时，先满足特殊元素的要求；以位置为主时，先满足特殊位置的要求．具体解答时还要辩证地看待“元素”和“位置”，哪些事件看成元素或位置，要视具体情况而定． 即时练1.3名男生，4名女生站成一排照相，若甲不站中间也不站两端，则有________种不同的站法． 解析：第一步，安排甲，在除中间，两端以外的4个位置上任选一个位置安排，有A种排法．第二步，安排其余6名，有A种排法．由分步乘法计数原理知，共有AA＝2 880(种)不同排法． 答案：2 880 技法2　相邻问题捆绑法 两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________． 解析：分3步进行分析， ①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2(种)排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2(种)排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6(种)排法．则共有2×2×6＝24(种)排法． 答案：24 　　方法技巧 解答相邻问题的方法 相邻问题可以采用捆绑法，将相邻的元素作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列． 即时练2.4名学生和3位老师排成一排合影，恰有两位老师相邻的不同排法有(　　) A．240种 B．2 880种 C．720种 D．960种 B　换换换[将所有学生先排列，有A种排法，然后将3位老师中的2位捆绑一起，有3A种排法，再与另一位老师插入到5个空中，有A种排法，故共有A•3•A•A＝2 880(种)排法．故选B．] 技法3　不相邻问题插空法 某地媒体为了宣传医护人员A，B，C，D，E，F共6人(其中A是队长)的优秀事迹，让这6名医护人员与接见他们的一位领导共7人站成一排进行拍照，则领导和队长站两端且B，C两人相邻，而B，D两人不相邻的站法种数为(　　) A．36 B．48 C．56 D．72 D　换换换[根据题意，可分两步进行分析，第一步，领导和队长站在两端，有A＝2(种)站法；第二步，安排中间5人，分两种情况讨论：①若B，C相邻且C，D相邻，有AA＝12(种)站法；②若B，C相邻且均不与D相邻，有AAA＝24(种)站法．故中间5人有12＋24＝36(种)站法．故领导和队长站两端且B，C两人相邻，而B，D两人不相邻的站法共有2×36＝72(种)．故选D．] 　　方法技巧 　　不相邻问题可以采用插空法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式排入． 即时练3.某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是(　　) A．24 B．16 C．8 D．12 A　换换换[根据题意，分三步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有A＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学与物理不相邻，有3个空位可选，有A＝6(种)情况，则不同排课法的种数是2×2×6＝24(种)．故选A．] 学生用书第133页 技法4　定序问题消序法 7人站成一排． (1)甲、乙、丙三人排列顺序一定时，有________种不同排法； 解析：(1)法一：7人的所有排列方法有A种，其中甲、乙、丙的排序有A种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有＝840(种)． 法二(插空法)：7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲 、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故共有A＝7×6×5×4＝840(种)不同排法． (2)甲在乙的左边，有________种不同的排法． 解析：(2)甲在乙的左边的7人排列数与