第五章 4.1 二项式定理的推导-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§4　二项式定理 4.1　二项式定理的推导 [学习目标]　1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．　2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．　3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点　二项式定理 观察以下各式： (a＋b)1＝a＋b， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， 1．(a＋b)5的展开式是什么？ 提示：(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5. 2．它们的系数之间有何规律？各项系数与我们学过的组合数有何联系？那么(a＋b)n的展开式又是什么？ 提示：C，C，C，…，C；C＝C＋C；(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn. 二项式定理 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn称为二项式定理. (a＋b)n的 二项展开式 Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn 二项式系数 展开式中各项的系数C(k＝0，1，2，…，n) 二项式通项 展开式的第k＋1项Tk＋1＝Can－kbk 备注 在二项式定理中，若设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋xn [微提醒]　二项展开式的特点： (1)项数：有n＋1项． (2)次数：各项的次数都等于二项式的次数n. (3)顺序：字母a按降幂排列，次数由n减到0，字母b按升幂排列，次数由0增到n. (4)系数：二项展开式中，二项式系数为C(k＝0，1，…，n)，这是一组仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，而与a，b无关． (链接教材P171例1、例2)(1)求的展开式． 解析：(1)法一：＝(3)4＋C(3)3•＋C(3)2•＋C(3)•＋C＝81x2＋108x＋54＋＋. 法二：＝＝(1＋3x)4 ＝[1＋C(3x)＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4] ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 解析：(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2•(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 学生用书第135页 　　方法技巧 应用二项式定理的解题策略 1．正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负交替的情况．对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开． 2．逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [注意]　逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． 即时练1.若(1＋)4＝a＋b×(a，b为有理数)，则a＋b＝________． 解析：因为(1＋)4＝1＋C×()1＋C×()2＋C×()3＋C×()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16， 所以a＝28，b＝16，所以a＋b＝28＋16＝44. 答案：44 即时练2.已知C3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3＋C＝1 024，则n＝________． 解析：C3n＋C3n－1＋…＋C3＋C＝C3n•10＋C3n－1•11＋…＋C31•1n－1＋C30•1n＝(3＋1)n＝4n＝1 024＝210，即22n＝210，解得n＝5. 答案：5 (链接教材P171例4)已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n的值； 解析：(1)因为T3＝C()n－2＝4Cx， T2＝C()n－1＝－2Cx， 依题意，得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81， 所以n2＝81，n＝9. (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数． 解析：(2)设第k＋1项含x3项， 则Tk＋1＝C()9－k＝Cx， 所以＝3，k＝1， 所以第二项为含x3的项，T2＝－2Cx3＝－18x3. 二项式系数为C＝9. [变式探究] 1．(变设问)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的常数项． 解析：通项公式为Tk＋1＝(－2)kCx. 由＝0得k＝3. 所以展开式中的常数项为(－2)3C＝－672. 2．(变设问)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的所有有理项． 解析：由题意可得 故k可取1，3，5，7，9. 故二项展开式的所有有理项为 T2＝(－2)Cx3＝－18x3； T4＝(－2)3Cx