第三章 3.1 空间向量基本定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.1　空间向量基本定理 [学习目标]　1.理解空间向量基本定理及其意义．　2.能够在具体问题中适当地选取一组基，并能用这组基表示空间中的任何一个向量． 知识点　空间向量基本定理 如图，设a，b，c是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p能否用a，b，c表示呢？ 提示：如图，设为在a，b所确定的平面上的投影向量，则＝＋. 又向量，c共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zc，从而＝＋zc. 在a，b确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 从而＝＋zc＝xa＋yb＋zc. 1．空间向量基本定理 如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基和基向量 (1)如果向量a，b，c是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可以看成是由向量a，b，c生成的，这时{a，b，c}叫作空间的一组基，其中a，b，c都叫作基向量． (2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基． [微提醒]　(1)若p＝xa＋yb＋zc，则xa＋yb＋zc叫作向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示． (2)对于基{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点： ①基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示，选用不同的基，同一向量的表达式也可能不同； ②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0； ③空间的一组基是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基中的某个向量，二者是相关联的不同概念． 学生用书第89页 已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且＝2e1＋2e2－3e3，＝－3e1＋4e2＋2e3，＝e1＋e2＋e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基？ 解析：假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立． 所以2e1＋2e2－3e3＝x(－3e1＋4e2＋2e3)＋y(e1＋e2＋e3)＝(－3x＋y)e1＋(4x＋y)e2＋(2x＋y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一组基， 所以e1，e2，e3不共面，所以此方程组无解， 即不存在实数x，y，使＝x＋y成立． 所以，，不共面． 故{，，}能作为空间的一组基． 　　方法技巧 判断基的基本思路及方法 1．基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基；若不共面，则能构成基． 2．方法：若向量中存在零向量，则不能作为基；若已知三个向量a，b，c，可假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基；若无解，则不共面，能作为基． 即时练1.(2023•河北石家庄高二期中)设{a，b，c}是空间的一个基，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基的向量是(　　) A．a B．b C．c D．a或b C　换换换[因为{a，b，c}是空间的一个基，所以向量a，b，c不共面，而向量p＝a＋b，q＝a－b与a，b共面，故排除选项A，B，D．故选C．] 即时练2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基．给出下列向量组： ①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间的基的向量组有________个． 解析：如图所示，设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D1，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基．因为x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基． 答案：3 (链接教材P109例1)如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点．用向量，，表示和. 解析：＝＋ ＝＋ ＝＋(－) ＝＋ ＝＋×(＋) ＝＋＋. ＝＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋. [变式探究] 1．(变条件，变设问)把本例已知条件变为“在四面体OABC中，G是△ABC的重心，延长AG交BC于点E，F是OG上的一点，且OF＝2FG.”试用向量，，表示？ 解析：由题意知E是BC的中点，所以＝(＋)．G是△ABC的重心，则＝＝(－)＝－＋＋，所以＝＋＝＋＋＋＝＋＋. 因为OF＝2FG， 所以＝＝ ＝＋＋， 所以＝－＝－(＋)＝－－. 2．(变条件)把本例已知条件变为：如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，