第三章 培优增分5 空间直角坐标系的构建策略-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

类型一　利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 (2023•北京海淀实验学校高二期中)如图，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2. (1)证明：AB⊥平面ADD1A1； 解析：(1)证明：因为AA1⊥底面ABCD，且AB⊂平面ABCD，所以AA1⊥AB． 因为AB＝AD＝2，BD＝2，所以AB2＋AD2＝BD2，故AB⊥AD．又AD∩AA1＝A，AD，AA1⊂平面ADD1A1，所以AB⊥平面ADD1A1. (2)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值； 解析：(2)以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，4，0)，C1(2，4，2)，D1(0，2，2)，所以＝(0，4，－2)，＝(－2，2，0)，＝(2，0，0)． 设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，得y＝1，z＝2，则n＝(1，1，2)， 设直线AB与平面B1CD1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝， 所以直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为. (3)求点C1到平面B1CD1的距离． 解析：(3)由(2)可知平面B1CD1的一个法向量为n＝(1，1，2)，＝(0，0，2)， 所以点C1到平面B1CD1的距离为＝＝，故点C1到平面B1CD1的距离为. 　　方法技巧 　　当图形中有明显的互相垂直，且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建立空间直角坐标系，从而解决立体几何问题． 即时练1.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； 解析： (1)以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，4)，D(1，1，0)，C1(0，2，4)， 所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)，所以cos〈，〉 ＝＝， 又异面直线所成角的范围是， 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为. (2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值． (2)＝(0，2，0)是平面ABA1的一个法向量． 设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)，因为＝(1，1，0)，＝(0，2，4)， 所以即 取n＝(2，－2，1)． 设平面ADC1与平面ABA1夹角的大小为θ， 则cos θ＝|cos〈，n〉|＝＝， 所以sin θ＝＝＝， 所以平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为. 类型二　利用线面垂直关系建系 (2022•全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝. (1)证明：BD⊥PA； 解析：(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，如图． 因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2， 所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE＝BF＝， 故DE＝，BD＝＝，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD， 因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD， 又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD， 又因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA． (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值． 解析：(2)如图，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，BD＝，则A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，则＝(－1，0，)，＝(0，－，)，＝(0，0，)， 设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)， 则有 可取n＝(，1，1)， 则cos〈n，〉＝＝， 所以PD与平面PAB所成角的正弦值为. 　　方法技巧 　　题目中有线面垂直时，可以借助线面垂直寻求两两垂直的直线，从而建立空间直角坐标系解决立体几何问题． 即时练2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝2，PA＝2. (1)取PC的中点N，求证：DN∥平面 PAB； 解析： (1)证明：取BC的中点为E，连接AE， 因为BC＝2，所以EC＝， 又AD⊥CD，AD＝CD＝， 所以四边形ADCE是正方形． 所以以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，B(，－，0)，P(0，0，2)，C(，，0)，D(0，，0)，因为N为PC的中点，所以N(，，1)． 则＝(0，0，2)，＝(，－，0)，＝，＝(，，0)， 所以•＝0，•＝0， 所以是平面PAB的一个