第三章 4.1 直线的方向向量与平面的法向量-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 [学习目标]　1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．　2.会求直线的方向向量和平面的法向量． 知识点一　直线的方向向量与直线的向量表示 空间中给定一个点M和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l? 提示：如图，已知点M是直线l上一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝t a，这个式子称为直线l的向量表示．由此可见，空间中任意一条直线l的位置可以由直线l上的一个定点和该直线的方向向量唯一确定． 1．直线的方向向量 设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量． 2．直线的向量表示 已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量．那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝t a．我们把这个式子称为直线l的向量表示． [微提醒]　(1)在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与直线l平行或重合． (2)直线的方向向量通常有无数个，同一条直线的方向向量都是共线向量． (3)若两条直线平行，则这两条直线的方向向量一定平行(共线)．反之，若两条直线的方向向量平行，则这两条直线平行或重合． (1)(链接教材P118例1)已知M1(2，5，－3)，M2(3，－2，－5)，O为坐标原点，设在线段M1M2上的一点M满足＝4，则向量的坐标为________． 解析：(1)设M(x，y，z)，则＝(1，－7，－2)， ＝(3－x，－2－y，－5－z)． 又因为＝4， 所以所以 即＝. (2)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝________． 解析：(2)因为A(0，y，3)和B(－1，2，z)， 所以＝(－1，2－y，z－3)， 因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)， 故设＝km.所以－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k. 解得k＝－，y＝z＝.所以y－z＝0. 学生用书第95页 (3)在如图所示的坐标系中，六面体ABCD -A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． (3)因为DD1∥AA1，＝(0，0，1)，直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；BC1∥AD1，＝(0，1，1)，故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)． 答案：(1)　(2)0　(3)(0，0，1)　(0，1，1)(答案不唯一) 　　方法技巧 　　求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算． 即时练1.(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6) B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) AB　[因为M，N在直线l上，且＝(1，1，3)， 所以向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量．故选AB．] 即时练2.从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段||＝34，则B点的坐标为 (　　) A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17) C． D． A　[设B点坐标为(x，y，z)，则＝λa(λ＞0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，因为||＝34， 即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18，17，－17)．故选A．] 知识点二　平面的法向量 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？ 提示：存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y. 1．平面的法向量 如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α． 2．平面的向量表示 如图1，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对平面α内任意一点P，必有•n＝0. 反过来，由立体几何知识可以证明：满足①式的点P都在平面α内，把①式称为平面α的一个向量表示式． 如图2所示，在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z 0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有＝(x－x0，y－y0，z－z0)，代入①式，得•n＝(x－x0，y－y0，z－z0)•(A，B，C)＝0，即A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．这个方程叫作平面α的方程． [微提醒]　(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的