第二章 2.1 双曲线及其标准方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§2　双曲线 2．1　双曲线及其标准方程 [学习目标]　1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．　2.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程．　3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题． 知识点一　双曲线的定义 做下面一个实验： (1)取一条拉链，拉开一部分； (2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上； (3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线． 通过实验观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ 提示：双曲线．点M到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数|FF2|(题左图)，|FF1|(题右图)． 双曲线的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 定点F1，F2叫作双曲线的焦点 焦距 两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距 集合 语言 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0＜2a＜|F1F2|} [微提醒]　(1)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． (2)双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|. ①若定义中的常数等于|F1F2|，此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． ②若定义中的常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在． ③若定义中的常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． (1)已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 解析：(1)依题意得|F1F2|＝10， 当a＝3时，因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6＜|F1F2|， 故点P的轨迹为双曲线的右支； 当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|， 故点P的轨迹为一条射线．故选D． (2)设C1，C2是平面上两个彼此外切且半径不相等的定圆，动圆C3与C1，C2均外切，则动圆圆心C3的轨迹为(　　) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线的一支 解析：(2)记圆C1与C2的半径分别为r1，r2，由三圆的相切关系易得|C3C1|－|C3C2|＝r1－r2≠0，|C1C2|＝r1＋r2＞r1－r2，由双曲线的定义知，动圆圆心C3的轨迹为双曲线的一支．故选D． 答案：(1)D　(2)D 　　方法技巧 2a的大小与点M的轨迹关系 条件 结论 0＜2a＜|F1F2| 动点M的轨迹是双曲线 2a＝|F1F2| 动点M的轨迹是分别以F1，F2为端点，指向F1，F2所在直线两侧的射线 2a＞|F1F2| 动点M不存在，因而轨迹不存在 2a＝0 动点M的轨迹为线段F1F2的垂直平分线 即时练1.已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 D　[由于|F1F2|＝2＋8＝10，即|PF1|－|PF2|＝|F1F2|，所以P点轨迹是一条射线．故选D．] 学生用书第53页 知识点二　双曲线的标准方程 请回答以下问题： 1．类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c＞0. 设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)， 因为|PF1|＝，|PF2|＝， 所以－＝±2a，① 类比椭圆标准方程的化简过程，化简、整理①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1. 由双曲线的定义知，2c＞2a，即c＞a，所以c2－a2＞0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，得－＝1(a＞0，b＞0)． 2．设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1，F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 提示：－＝1(a＞0，b＞0)． 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点坐标 F1(－c，0)；F2(c