第二章 1.2 椭圆的简单几何性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

1.2　椭圆的简单几何性质 [学习目标]　1.结合椭圆的图形掌握椭圆的简单几何性质．　2.掌握a，b，c，e的几何意义及其相互关系．　3.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形，体会数形结合的思想． 知识点　椭圆的简单几何性质 观察椭圆＋＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 提示：范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：(0，0) 轴长 长轴长2a，短轴长2b 离心率 e＝∈(0，1) [微提醒]　椭圆离心率e的取值范围是(0，1)，椭圆的离心率刻画了椭圆的“扁平程度”．由于e＝＝＝知，离心率e越大，椭圆越扁平，离心率e越小，椭圆越接近于圆．当且仅当a＝b，c＝0时，两个焦点重合，椭圆就变为圆，它的方程为x2＋y2＝a2. (链接教材P52例4)求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解析：把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＝6， 所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝. 两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9，0)，A2(9，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)． 　　方法技巧 用标准方程研究几何性质的步骤 第一步：将椭圆方程化为标准形式； 第二步：确定焦点位置； 第三步：求出a，b，c； 第四步：写出椭圆的几何性质． [注意]　长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． 即时练1.已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； 解析：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率为e＝＝. (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解析：(2)椭圆C2：＋＝1， 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④焦点：(0，6)，(0，－6)； ⑤离心率：e＝. 学生用书第50页 (链接教材P53例5)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； 解析：(1)设椭圆的方程为： ＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)． 由已知得2a＝10，a＝5. 又因为e＝＝，所以c＝4. 所以b2＝a2－c2＝25－16＝9. 所以椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解析：(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为＋＝1. 　　方法技巧 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． 即时练2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 A　换换换[由题意，长轴长为2a＝18，a＝9，长轴三等分后2c＝6，c＝3，故b2＝a2－c2＝81－9＝72，则该椭圆的标准方程是＋＝1.故选A．] 即时练3.已知椭圆的对称中心为坐标原点O，一个焦点为直线l：x－2y－4＝0与x轴的交点，离心率为，则椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋x2＝1 D．＋x2＝1 A　换换换[直线l：x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，即c＝4.又椭圆的离心率为，所以＝，故a＝，则b2＝a2－c2＝－16＝， 所以椭圆的标准方程为＋＝1.故选A．] 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的