第二章 1.1 椭圆及其标准方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 [学习目标]　1.了解椭圆的实际背景，理解椭圆、焦点、焦距的定义．　2.掌握椭圆的标准方程及推导过程，会求简单的椭圆的标准方程． 知识点一　椭圆的定义 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示：椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 椭圆的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆. 焦点 定点F1，F2叫作椭圆的焦点 焦距 两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距 集合语言 {P||PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|} [微提醒]　椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，且定值必须大于两定点的距离． (1)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段． (2)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在． (链接教材P47例1)(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是________________． 解析：(1)连接QA(图略)，由已知可得QA＝QP， 所以QO＋QA＝QO＋QP＝OP＝r， 又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|， 根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆． (2)已知椭圆C的对称中心为原点O，M为椭圆C上一动点，F1为椭圆C的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是________________． 解析：(2)如图所示，设椭圆C的右焦点为F2，由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝2a＞2c， 因为O，P分别为F1F2，MF1的中点，可得 |PF1|＋|PO|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a＞c，根据椭圆的定义，可得点P的轨迹是椭圆． 答案：(1)以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆　(2)椭圆 　　方法技巧 　　根据椭圆的定义判断动点的轨迹是否为椭圆，务必满足以下条件：①在平面内；②动点P到两定点F1，F2的距离之和为常数；③常数＞|F1F2|. 即时练1.(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆 B．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段 C．到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆 BD　换换换[A．＜2，故点P的轨迹不存在；B．因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；C．到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；D．点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为4＞8，所以点P的轨迹为椭圆．故选BD．] 即时练2.(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P 满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a＞0)，则点P的轨迹可能是(　　) A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 BC　换换换[由题意知，定点F1(0，－3)，F2(0，3)，可得|F1F2|＝6，因为a＞0，可得|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2＝6，当且仅当a＝，即a＝3时等号成立．当a＋＝6时，可得|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此时点P的轨迹是线段F1F2；当a＋＞6时，可得|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆．故选BC．] 学生用书第45页 知识点二　椭圆的标准方程 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单？ 提示：观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，则焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．如图所示，设P(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)． 根据椭圆的定义，设点P与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a. 因为|PF1|＝， |PF2|＝， 所以＋＝2a， 即＝2a－. 两边平方、整理，得a2－cx＝a. 上式两边再平方、整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝(a2－c2)a2，