第二章 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

章末综合提升 素养一　数学抽象 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中．数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统．对圆锥曲线定义的理解是学科素养中的数学抽象． 体现1　圆锥曲线的定义 (1)若命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，a是常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：(1)若点P的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a＞0)；反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0)，则点P的轨迹可能是线段，也可能不存在．故选B． (2)平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是________________． 解析：(2)|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝10，根据双曲线的定义可知点P的轨迹为双曲线的右支，且a＝3，c＝5，故b2＝16，故动点P的轨迹方程为－＝1(x≥3)． 答案：(1)B　(2)－＝1(x≥3) 素养二　数学运算 在数学运算核心素养的形成过程中，能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯，形成一丝不苟、严谨求实的科学精神． 本章中圆锥曲线标准方程求解、几何性质的研究、弦长及中点弦问题都是数学运算问题． 体现2　圆锥曲线的标准方程 (多选)已知方程mx2＋ny2＝1(m，n∈R)，则(　　) 学生用书第73页A．当mn＞0时，方程表示椭圆 B．当mn＜0时，方程表示双曲线 C．当m＝0时，方程表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线 BD　[A项，取m＝n＝1，此时表示圆，错误； B项，当mn＜0时，方程表示焦点在x轴或y轴上的双曲线，正确；C项，当m＝0，n＝0时，方程不成立，错误；D项，方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确．] 体现3　圆锥曲线的几何性质 (1)双曲线－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于(　　) A． B．3 C．4 D．2 解析：(1)双曲线－＝1的一个焦点坐标是(5，0)，一条渐近线为y＝x，此焦点到渐近线的距离d＝＝4.故选C． (2)(2022•全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：(2)A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则kAP＝，kAQ＝，故kAP•kAQ＝•＝＝，又＋＝1， 则y＝，所以＝，即＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.故选A． 答案：(1)C　(2)A 素养三　直观想象 直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段．本章内容中的最值问题就是利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路． 体现4　圆锥曲线中的最值与范围问题 (1)(多选)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1，1)在椭圆C的内部，点Q在椭圆C上，则下列说法正确的是(　　) A．|QF1|＋|QP|的最小值为2－1 B．椭圆C的短轴长可能为2 C．椭圆C的离心率的取值范围为 D．若＝，则椭圆C的长轴长为＋ 解析：(1)因为|F1F2|＝2，所以F2(1，0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，当Q，F2，P三点共线，且Q在线段F2P的延长线上时，取等号，故A正确；若椭圆的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1，因为＋1＞1，所以点P在椭圆C的外部，与题设予盾，故B错误；因为点P在椭圆C的内部，所以＋＜1，又a－b＝1，即b＝a－1，所以＋＜1，即a2－3a＋1＞0，解得a＞＝＝，所以＞，所以e＝＜，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故C正确；若＝，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，所以a2－11a＋9＝0，解得a＝＝＝，所以＝，所以椭圆C的长轴长为＋，故D正确．故选ACD． (2)(2023•重庆八中高二期中)若点O和点F分别为双曲线－y2＝1的中心和左焦点，点P为该双曲线上的任意一点，则•的最小值为(　　) A．2＋ B．2－ C． D．－ 解析：(2)由题意得，点O(0，0)，点F(－，0)， 设点P(x，y)，则－y2＝1⇒y2＝－1，x∈(－∞，－ ]∪[ ，＋∞)， ＝(x，y)，＝(x＋，y)， 所以•＝x(x＋)＋y2＝x2＋x＋－1＝－， 所以当x＝－时，•取得最小值，为×－