第二章 培优增分 4抛物线的焦点弦的常见性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦的常见性质 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是焦点，直线AB的倾斜角为θ，准线l交x轴于点N，过A，B分别作准线l的垂线AC，BD，垂足分别为C，D．连接AN，BN，CF，DF，AO，BO. 则有：(1)|AF|＝x1＋＝， |BF|＝x2＋＝. (2)＋＝. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝. (4)S△AOB＝. (5)以AB为直径的圆与准线l相切，以AF为直径的圆与y轴相切． (6)y1y2＝－p2，x1x2＝. 类型一　x1x2＝，y1y2＝－p2的应用问题 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若•＝－12，则抛物线C的方程为____________． 解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，直线AB的方程为x＝my＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2＝，y1y2＝－p2，得•＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x. 答案：y2＝8x 类型二　焦点弦长问题 (2023•山西太原师院附中高二上月考)已知抛物线y＝mx2(m＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝6，则焦点F的坐标为(　　) 学生用书第71页 A．(0，) B．(0，) C．(0，) D．(0，) B　换换换[法一：y＝mx2(m＞0)可化为x2＝y，则F(0，)，所以直线AB的方程为y＝x＋，与y＝mx2(m＞0)联立，消去x，得3y2－y＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝.由|AB|＝y1＋y2＋＝6，解得＝，所以焦点F的坐标为(0，)．故选B． 法二：设直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝，得＝6×＝，所以焦点F的坐标为(0，)．故选B．] 类型三　焦半径问题 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 B　换换换[法一：由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设点A，B在准线上的射影分别为点D，C，过点B作BE⊥AD于点E， 设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知：|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m， 所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2，则sin2θ＝8cos2θ，所以sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.故选B． 法二：由|AF|＝2|BF|得，＝2×， 解得cos θ＝，再由|AB|＝得，|AB|＝.故选B． 法三：因为|AF|＝2|BF|，且＋＝得，＋＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.故选B．] 类型四　焦点弦有关的面积问题 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A． B． C． D． D　换换换[法一：由题意可知，直线AB的方程为y＝，代入抛物线的方程可得4y2－12y－9＝0，且Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－，故所求三角形的面积为××＝.故选D． 法二：运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则S△OAB＝＝＝.故选D．] 　　方法技巧 　　解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 即时练1.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　) A．－4 B．4 C．p2 D．－p2 A　换换换[由x1x2＝，y1y2＝－p2，得＝＝－4.故选A．] 即时练2.(2023•河南南阳模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则的值为(　　) A．3 B．2 C． D． A　换换换[由抛物线的焦点弦性质可知， |AF|＝，|BF|＝， 所以＝＝3.故选A．] 即时练3.(2017•全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 A　换换换[设直线l1的倾斜角为θ，则直线l2的倾斜角为＋θ，所以由抛物线的焦点弦的性质可知， |AB|＋|DE|＝＋＝＋＝＝ ≥16，当sin 2θ＝1，即θ＝时取等号，所以|AB|＋|DE|的最小值为16.故选A．]