第二章 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.1　直线与圆锥曲线的交点 [学习目标]　1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．　2.掌握直线与圆锥曲线有关问题的求解方法． 知识点　直线与圆锥曲线的交点 类比直线与圆的位置关系，探究直线与圆锥曲线的位置关系时，如何确定直线与圆锥曲线的位置关系？ 提示：联立直线与圆锥曲线方程，看公共点的个数．直线与圆锥曲线交点个数与两者对应方程的公共解的个数是相同的． 直线与圆锥曲线的位置关系 联立直线与圆锥曲线的方程，消元得方程ax2＋bx＋c＝0，则直线与圆锥曲线的位置关系与条件对应如图所示： 方程 特征 a＝0 a≠0，Δ＞0 a≠0，Δ＝0 a≠0，Δ＜0 直 线 与 椭 圆 交点 个数 2 1 0 位置 关系 相交 相切 相离 图示 直 线 与 双 曲 线 交点 个数 1或0 2 1 0 位置 关系 直线与双曲线的渐近线平行时相交，重合时相离 相交 相切 相离 图示 直 线 与 抛 物 线 交点 个数 1 2 1 0 位置 关系 直线与抛物线的对称轴重合或平行，两者相交 相交 相切 相离 图示 [微提醒]　(1)直线与圆锥曲线位置关系的判断方法： (2)利用代数方法判断直线与双曲线、抛物线的位置关系时，注意方程组有一解时，直线与双曲线、抛物线可能是相交或相切． (链接教材P76 例1、例2)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； 解析：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组： 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③ 关于x的一元二次方程的判别式： Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)由Δ＞0，得－3＜m＜3. 于是，当－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点． (2)有且只有一个公共点； 解析：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组： 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③ 关于x的一元二次方程的判别式： Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (2)由Δ＝0，得m＝±3. 也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)没有公共点． 解析：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组： 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③ 关于x的一元二次方程的判别式： Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (3)由Δ＜0，得m＜－3或m＞3. 从而当m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解． 这时直线l与椭圆C没有公共点． 学生用书第66页 　　方法技巧 　　判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则： Δ＞0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ＜0⇔直线与椭圆相离． 即时练1.已知椭圆＋＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 C　换换换[由题意知，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0，1)，因为＋＜1，所以点(0，1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交．故选C．] 即时练2.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围． 解析：由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋， 代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1， 整理得x2＋2kx＋1＝0， 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0， 解得k＜－或k＞， 所以k的取值范围为∪. (链接教材P77 例3)(1)过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？ 解析：(1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意． 当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程是y＝kx＋1，代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.当k＝0时，x＝，直线l的方程为y＝1，符合题意；当k≠0时，由Δ＝0，得k＝，直线方程为y＝x＋1. 故满足条件的直线有三条． (2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合． 解析：(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数