第二章 3.2 抛物线的简单几何性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

3.2　抛物线的简单几何性质 [学习目标]　1.掌握抛物线的简单几何性质．　2.能利用抛物线的简单几何性质解决相关问题． 知识点　抛物线的简单几何性质 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p＞0)的哪些简单几何性质，如何研究这些简单几何性质？ 提示：1.范围 当x＞0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也随之增大，这说明抛物线向右上方和右下方可以无限延伸．抛物线是无界曲线． 2．对称性观察图象，不难发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫作抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 3．顶点 抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0)． 4．离心率 抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率．用e表示，e＝1. 抛物线的简单几何性质 类型 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图象 性 质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称 轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 开口 方向 向右 向左 向上 向下 学生用书第63页 [微提醒]　(1)通过上述表格可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为O(0，0)，离心率均为1，它们都是轴对称图形，关于焦点所在的坐标轴对称． (2)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平． (3)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直． (链接教材P71 例3)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程． 解析：设所求抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x. 方法技巧 用待定系数法求抛物线方程的步骤 [注意]　求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．　　 即时练1.边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x C　换换换[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)． 又A，则有＝±p，解得p＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C．] 即时练2.若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则其标准方程为________________． 解析：因为点M到对称轴的距离为6，所以设点M的坐标为(x，6)．又因为点M到准线的距离为10， 所以解得或 故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x； 当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x. 答案：y2＝4x或y2＝36x 动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 D　换换换[点P到点F(3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，即“点P到点F(3，0)的距离等于它到直线l′：x＋3＝0的距离．”由此可知，动点P的轨迹是以F(3，0)为焦点，以直线l′：x＝－3为准线的抛物线．故选D．] [变式探究] (变条件，变结论)把本例中“到直线x＋2＝0的距离大1”变为“到直线x＋4＝0的距离小1，”求动点P的轨迹方程． 解析：点P到点F(3，0)的距离比它到直线x＋4＝0的距离小1，即“点P到F(3，0)的距离等于它到直线l′：x＋3＝0的距离．”由此可知，动点P的轨迹是以F(3，0)为焦点，以直线l′：x＝－3为准线的抛物线．故点P的轨迹方程是y2＝12x. 方法技巧 求轨迹问题的两种方法 1．直接法：按照动点适合条件直接代入求方程． 2．定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．　　 抛物线的实际应用 一种卫星接收天线的轴截面