第二章 3.1 抛物线及其标准方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 [学习目标]　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．　2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．　3.理解p的几何意义，并能求简单的抛物线的标准方程． 知识点一　抛物线的定义 如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定在三角板另一条直角边上点A的位置，截取绳子的长等于点A到l的距离AB，并且把绳子另一端固定在三角板上的一点F处．用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板上的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就画出了一条曲线． 这条曲线的形状是什么呢？ 提示：抛物线． 抛物线的定义 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线 焦点 定点F叫作抛物线的焦点 准线 定直线l叫作抛物线的准线 学生用书第60页、 [微提醒]　(1)注意定点F不在定直线l上，这是动点轨迹为抛物线的必要条件，否则，若定点F在定直线l上，则动点轨迹为过定点F且和定直线l垂直的一条直线． (2)抛物线的定义可总结为“一动三定”：“一动”即一个动点，设为M；“三定”即一个定点F、一条定直线l、一个定值(即动点M与定点F和定直线l的距离的比值为常数1)． (1)已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是(　　) A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 解析：(1)因为动圆M过定点F，则动圆M的半径为|MF|，又动圆M与直线l相切，则圆心M到直线l的距离等于圆的半径|MF|，因此，动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，又定点F不在定直线l上，由抛物线的定义得，圆心M的轨迹是抛物线，所以动圆圆心M的轨迹是抛物线．故选C． (2)正方体ABCDA1B1C1D1中，P为面ABCD所在平面上的一个动点，且点P到平面BCC1B1的距离等于点P到直线DD1的距离，则动点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：(2)如图，因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以D1D⊥平面ABCD，而PD⊂平面ABCD，所以D1D⊥DP，即点P到直线D1D的距离是DP的长度，过点P作PM⊥BC于M，因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以平面BCC1B1⊥平面ABCD，而平面BCC1B1∩平面ABCD＝BC，所以PM⊥平面BCC1B1，则PM的长为P到平面BCC1B1的距离，又点P到平面BCC1B1的距离等于点P到直线DD1的距离，所以P到定点D的距离等于P到定直线BC的距离，所以点P的轨迹为抛物线．故选D． 答案：(1)C　(2)D 方法技巧 　　在利用到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线时，注意先判断定点是否在定直线上．如果在定直线上，则动点的轨迹为过该点且与已知直线垂直的直线．　　 即时练1.若动点P到点(3，0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 B　换换换[由抛物线的定义知，动点P的轨迹为抛物线．故选B．] 即时练2.若点P到点F(1，0)的距离和到直线l：x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是(　　) A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 A　换换换[因为点F在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹为过点F且与l垂直的一条直线．故选A．] 知识点二　抛物线的标准方程 类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何建立平面直角坐标系，使所建立的抛物线的方程简单？ 提示：取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与准线l相交于点K，以线段KF的垂直平方线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy. 设|KF|＝p(p＞0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－. 设点M(x，y)是抛物线上的任意一点，点M到准线l的距离为d. 由抛物线的定义可知，抛物线上的点M满足|MF|＝d. 因为|MF|＝，d＝， 所以 ＝，将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p＞0)． 抛物线的标准方程 图象 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p＞0) x＝－ y2＝－2px(p＞0) x＝ x2＝2py(p＞0) y＝－ x2＝－2py(p＞0) y＝ [微提醒]　(1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式． (2)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． (链接教材P68例1)求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点M(－6，6)； 解析：(1)由于点M(－6，6)在第二象限， 所以过M的抛物线开