第二章 2.2 双曲线的简单几何性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

2.2　双曲线的简单几何性质 [学习目标]　1.结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．　2.掌握a，b，c，e的几何意义及其相互关系．　3.了解双曲线的渐近线，能用双曲线的几何性质解决相关问题，体会数形结合思想． 知识点　双曲线的简单几何性质 类比对椭圆的简单几何性质的讨论方法，根据双曲线方程－＝1(a＞0，b＞0)和图象，如何研究双曲线的简单几何性质？ 提示：1.范围利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1，于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R，所以x≥a或x≤－a；y∈R. 2．对称性 －＝1(a＞0，b＞0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心． 3．顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的顶点． 顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个． (2)如图，线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长为2a，a叫作双曲线的实半轴长；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫作双曲线的虚半轴长． 4．渐近线 双曲线在第一象限内部分的方程为y＝•＝x，它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方． 它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近． (1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x. (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图． 5．离心率 (1)定义：e＝. (2)e的范围：e＞1. (3)e的含义：因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，所以决定双曲线的开口方向，越大，双曲线的开口就越大，e也越大，从而离心率e可以用来表示双曲线开口的程度． 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性 质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 渐近线 ±＝0或 y＝±x ±＝0或 y＝±x 离心率 e＝(e＞1) [微提醒]　(1)椭圆有四个顶点，而双曲线有两个顶点． (2)双曲线有两条渐近线，双曲线－＝1的渐近线方程为±＝0(a＞0，b＞0)． (3)双曲线的中心、虚轴的一个端点和实轴的一个端点构成一个直角三角形，这个直角三角形的三边满足关系式c2＝a2＋b2. (链接教材P65例5)求双曲线9y2－4x2＝－36的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标，以及离心率和渐近线方程，并画出该双曲线． 解析：将9y2－4x2＝－36化为标准方程，得－＝1. 所以实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率e＝＝. 渐近线方程为y＝±x. 如图所示，首先画出x＝±3，y＝±2，作出矩形；然后作出矩形的对角线，得到渐近线y＝±x；最后以渐近线为参照画出双曲线． 　　方法技巧 由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤 即时练1.(多选)(2023•江西南昌高二期中)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则下列结论正确的是(　　) A．实轴长为8 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 ABD　换换换[双曲线方程x2－8y2＝32化成标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6.所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.故选ABD．] 学生用书第57页 即时练2.(2022•北京卷)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________． 解析：因为双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝± x，所以＝，解得m＝－3. 答案：－3 (1)中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1或－＝1 C．－＝1 D．－＝1或－＝1 解析：(1)因为双曲线的实轴长为10，虚轴长为6，所以a＝5，b＝3.当焦点在x轴上时，方程为－＝1；当焦点在y轴上时，方程为－＝1.故选B． (2)过点P(3，－)，且离心率为的双曲线的标准方程为________________． 解析：(2)若双曲线的焦点在x轴上，则设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 因为e＝，所以＝2，即＝2，所以a2＝b2.① 因为双曲线过点P(3，－)，所以－＝1.② 由①②得a2＝b2＝4，所以双曲线的标准方程为－＝1.若双曲线的焦点在y轴上，则设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 同理可得a2＝b2，－＝1，两方