第一章 1.6 第1课时 两点间的距离公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

1.6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式 [学习目标]　1.探索并掌握两点间的距离公式并能灵活应用．　2.初步掌握用坐标法(解析法)研究几何问题． 知识点　两点间的距离公式 请回答以下问题： 1．在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：　|AB|＝|xB－xA|. 2．已知平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|AB|? 提示：　当AB与x轴平行时，|AB|＝|x2－x1|；当AB与y轴平行时，|AB|＝|y2－y1|；当AB与坐标轴不平行时，如图所示，在△ABC中，|AB|2＝|AC|2＋|BC|2， 所以|AB|＝，即两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为|AB|＝. 1．平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式 |AB|＝． 2．两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0，0)与任一点A(x1，y1)的距离|OA|＝. (2)当AB∥x轴时，|AB|＝|x2－x1|． (3)当AB∥y轴时，|AB|＝|y2－y1|． [微提醒]　两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，利用此公式可以将有关的几何问题转化成代数问题进行研究． [记结论]　(1)平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．(2)已知AO是△ABC边BC的中线，则|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)． (链接教材P22例22)(1)M(3，－7)，N(5，－3)两点间的距离为(　　) A．2 B． C．2 D．15 解析：　(1)由题意得|MN|＝＝2.故选C． (2)若点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3，4)，则|AB|的长为(　　) A．10 B．5 C．8 D．6 (2)线段AB的中点为M， 设A(a，0)，B(0，b)⇒M，所以＝3，＝4⇒a＝6，b＝8， 所以A(6，0)，B(0，8)⇒|AB|＝＝10.故选A． 答案：　(1)C　(2)A 方法技巧 　　两点间的距离公式是利用代数法研究几何问题的最基本的公式之一．两点间的距离公式适用于任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷． 即时练1.若A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则等于(　　) A． B． C．3 D．2 D　|AC|＝4，|CB|＝2，故＝2.故选D．] 即时练2.(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 BCD　＝ ＝＝， 可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故选项A不正确．故选BCD．] (1)已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________． 解析：　(1)设点P的坐标为(x，0)， 由|PA|＝10得＝10， 解得x＝11或x＝－5. 所以点P的坐标为(11，0)或(－5，0)． (2)已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，则△ABC的形状为____________． (2)法一：由题意得|AB|＝＝＝2，|AC|＝＝＝2，|BC|＝＝＝2， 所以|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. 所以△ABC是等腰直角三角形． 法二：由题意得kAC＝＝，kAB＝＝－，所以kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB． 又|AC|＝＝＝2，|AB|＝＝＝2，所以|AC|＝|AB|. 所以△ABC是等腰直角三角形． 答案：　(1)(11，0)或(－5，0)　(2)等腰直角三角形． 学生用书第20页 方法技巧 1.解决两点间距离公式逆用问题的思路： 已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解． 2．利用两点间距离公式判定三角形形状的方法： 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形． 即时练3.已知点A(－2，－1)，B(a，3)且|AB|＝5，则a等于(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．其他值 C　因为点A(－2，－1)，B(a，3)且|AB|＝5， 所以＝5， 解得a＝1或a＝－5.故选C．] 即时练4.(2023·福建厦门高二期中)以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是(　　) A．等腰三角形 B．