第一章 1.5 两条直线的交点坐标-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

1.5　两条直线的交点坐标 [学习目标]　1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2.理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系． 知识点　两直线的位置关系与方程组的解 已知两条直线l1：2x－y＋3＝0，l2：x－2y＋6＝0，画出两条直线的图形，它们的位置关系如何？若相交，如何求出其交点坐标？并思考如何判断l1，l2是否相交？ 提示：　由两条直线的图形知，l1与l2相交，联立方程组得所以这两条直线的交点坐标为(0，3)．由l1，l2的方程可知斜率分别为k1＝2，k2＝，从而k1≠k2，所以l1，l2不平行，所以l1，l2一定相交． 一般地，对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)如果两条直线相交，则交点的坐标一定是两个方程的公共解；如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点一定是两直线的交点． (2)方程组 ①有唯一解⇔l1与l2相交，此解就是交点的坐标； ②有无数多组解⇔l1与l2重合； ③没有解⇔l1与l2平行，两条直线无公共点． [微提醒]　如何利用直线的一般式方程判定两条直线的位置关系？ 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0　①， l2：A2x＋B2y＋C2＝0　②. 由①×B2－②×B1， 得(A1B2－A2B1)x＝－(C1B2－C2B1)　③. 当A1B2－A2B1≠0时， 方程③的解为x＝－，l1与l2相交； 当A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0时，方程③无解，l1∥l2； 当A1B2－A2B1＝C1B2－C2B1＝0时，方程③有无数个解，l1与l2重合． 可简记为： l1与l2相交 l1∥l2 l1与l2重合 ≠ ＝≠ ＝＝ (链接教材P20练习题2)判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0； (2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝x＋； (3)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 解析：　(1)解方程组 得所以l1与l2相交， 且交点坐标为. (2)联立直线l1与l2的方程得方程组： ②×6，整理得2x－6y＋3＝0，即方程②可以化为方程①，所以l1与l2重合． (3)联立直线l1与l2的方程得方程组： 由①×2－②，可知该方程组无解．所以l1与l2无公共点，即l1∥l2. 　　方法技巧 判断两条直线相交的三种方法 1．方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交； 2．方法二：两直线斜率都存在且斜率不相等； 3．方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． 即时练1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定，与m，n取值有关 C　因为直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2， 直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，所以k1≠k2，k1k2≠－1，两直线相交但不垂直．故选C．] 即时练2.过直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y＋1＝0的交点，且过原点的直线方程为(　　) A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0 C．x－2y＝0 D．x＋2y＝0 D　联立方程得即l1与l2的交点为(－2，1)，又直线过原点，所以此直线的方程为：x＋2y＝0.故选D．] 学生用书第18页 (2023·安徽合肥市期末)若直线y＝x与直线y＝x－5的交点在直线y＝kx＋3上，则k的值为________． 解析：　由题易得k≠1，由得x＝y＝，将代入y＝kx＋3，得＝＋3，解得k＝. 答案：　 [变式探究] 1．(变设问)若本例中已知三条直线条件不变，当三条直线不能构成三角形时实数k的值为________． 解析：　当三条直线经过同一点时，不能构成三角形， 由例2知k＝. 当三条直线中至少有两条平行时，也不能构成三角形， ①当y＝x与y＝x－5平行时，由＝1，即k＝1，此时三条直线为y＝x，y＝x－5，y＝x＋3相互平行，符合题意． ②同理当y＝x与y＝kx＋3平行时，k＝1符合题意． ③当y＝x－5与y＝kx＋3平行时，由＝k，即k＝±1，经检验符合题意．综上，实数k的值为或±1. 答案：　或±1 2．(变设问)若本例条件变为：若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是________． 解析：　为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点． ①若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1. ②若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1. ③若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1. 当a＝1时，l1，l2与l3三线重合；当a＝－1时，l1，l2平行． ④若三条直线交于