第一章 1.4 两条直线的平行与垂直-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

1.4　两条直线的平行与垂直 [学习目标]　1.掌握两条直线平行与垂直的条件，能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．　2.能利用两条直线平行或垂直进行实际应用． 知识点一　两条直线平行 请回答以下问题： 1．在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示：　两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 2．平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示：　两直线平行，倾斜角相等． 1．对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔k1＝k2. 2．若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合． [微提醒]　(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提：两直线l1，l2的斜率均存在，且不重合． (2)当直线的斜率都不存在且不重合时，直线l1，l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2. (3)当l1∥l2时，可能它们的斜率都存在且相等，也有可能斜率都不存在，但它们的倾斜角总是相等的． 学生用书第14页 (链接教材P17例16)判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)l1：经过点A(7，－3)，B(－3，5)的直线，l2：经过点C(3，－3)，D(－2，1)的直线； 解析：　(1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合．又kCB＝＝－≠－，故l1∥l2. (2)l1：平行于y轴的直线，l2：经过点P(0，－2)，Q(0，5)的直线； (2)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2. (3)l1：x＝1－2y，l2：2x＋4y＋1＝0； (3)法一：l1的方程可化为y＝－x＋，l2的方程可化为y＝－x－. 所以k1＝k2＝－，且b1≠b2，所以l1∥l2. 法二：l1的方程可化为x＋2y－1＝0， 则＝≠，所以l1∥l2. (4)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. (4)法一：l1的方程可化为y＝－x－2，l2的方程可化为y＝－x－. 所以k1＝k2＝－1，且b1≠b2，所以l1∥l2. 法二：由＝≠得l1∥l2. 　　方法技巧 判断两条直线平行的方法 1．对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 2．对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2. 3．对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2 x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔＝≠(A2B2C2≠0)⇔ 即时练1.已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是(　　) A．－8 B．0 C．2 D．10 A　由题意可知kAB＝＝－2，所以m＝－8.故选A．] 即时练2.已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，判断直线l1与l2是否平行． 解析：　当a＝1时，显然两直线不平行． 当a≠1时，将方程ax＋2y＋6＝0化为y＝－x－3， 将方程x＋(a－1)y＋a2－1＝0化为y＝x－a－1. 若直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则解得a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1与l2平行． 知识点二　两条直线垂直 平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：　k1·k2＝－1. 1．对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2．当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0． [微提醒]　(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (链接教材P18例18)判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直： (1)l1：经过点A(－1，－2)，B(1，2)的直线，l2：经过点M(－2，－1)，N(2，1)的直线； 解析：　(1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝1，故l1与l2不垂直． (2)l1：斜率为－10的直线，l2：经过点A(10，2)，B(20，3)的直线； (2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1