第一章 1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 [学习目标]　1.掌握直线方程的点斜式和斜截式．　2.了解直线在y轴上截距的概念以及斜截式与一次函数的关系．　3.会利用直线的点斜式方程和斜截式方程解决有关问题． 知识点一　直线方程的点斜式 给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？ 提示：　y－y0＝k(x－x0)． 1．直线l的方程 如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 2．直线方程的点斜式 (1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)． (2)经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可分为两类：①斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；②斜率不存在的直线，方程为x＝x0. [微提醒]　(1)直线的点斜式方程的前提条件：①斜率必须存在；②已知一点P(x0，y0)和斜率k.只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程． (2)方程k＝与y－y0＝k(x－x0)不等价，前者表示的直线上少一个点P(x0，y0)，后者表示完整的直线． (3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线． 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； 解析：　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝3[x－(－4)]． (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°； (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]． (3)过点C(－1，2)，且与y轴平行； (3)因为直线与y轴平行，所以斜率不存在，所以直线的方程不能用点斜式表示．由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1. (4)过点D(2，1)和E(3，－4)． (4)因为直线过点D(2，1)和E(3，－4)， 所以斜率k＝＝－5. 故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2)． 　　方法技巧 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程． 2．注意：点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．即只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程． 即时练1.(2023·陕西省西安市期末)经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0 D　倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又该直线经过点P(2，－3), 所以用直线的点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.故选D．] 即时练2.(2023·江苏省南京市质检)在平面直角坐标系中，下列三个结论： ①每一条直线都有点斜式方程； ②方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线； ③直线l过点P0(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0. 其中正确结论的序号为________． 解析：　直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以①错误．点(2，－1)不在方程k＝所表示的直线上，所以②错误．③显然正确． 答案：　③ 学生用书第7页 知识点二　直线方程的斜截式 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程． 提示：　y＝kx＋b. 1．定义：若直线l经过点(0，b)且斜率为k，则直线l的方程是y＝kx＋b.该方程中的b为直线l在y轴上的截距，称y＝kx＋b为直线方程的斜截式． 2．方程y＝kx＋b的形式特点：左端y的系数恒为1，右端x的系数为k，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．也就是说方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特征明显． [微提醒]　(1)直线方程的斜截式是点斜式的特殊情况．斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时也要讨论斜率是否存在． (2)直线的截距分为横截距和纵截距，横截距是直线与x轴交点的横坐标，纵截距是直线与y轴交点的纵坐标．因此截距可以取正数、零、负数，是一个实数．而距离只能为非负实数，所以截距不是距离． 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； 解析：　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (2)由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2. (3)倾斜角为60°，