第一章 2.4 圆与圆的位置关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

2.4　圆与圆的位置关系 [学习目标]　1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．　2.能用圆和圆的位置关系解决一些简单的问题． 知识点　圆与圆的位置关系 上图为某次拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化过程． 1．根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？ 提示：　5种，即外离、外切、相交、内切、内含． 2．能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？ 提示：　可以，利用圆心距与半径的关系可判断． 1．圆与圆的位置关系 平面内两个不等的圆的位置关系有五种，分别是外离、外切、相交、内切、内含． 两个圆外切和内切统称两个圆相切． 当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情况(重合时两个圆被看成一个圆)． 2．圆与圆的位置关系的判断 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、 r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 (2023·山东济宁高二质量检测)已知圆C1：x2＋y2－4y＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则两圆的位置关系为(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 B　[圆C1：x2＋y2－4y＝0的圆心为O1(0，2)，半径r1＝2，圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心为O2(1，1)，半径r2＝1，两圆的圆心距|O1O2|＝＝，2－1＜＜2＋1，故两圆相交，故选B．] 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： ①相切；②相交；③外离；④内含． 解析：　圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. 所以|C1C2|＝＝a. ①当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． ②当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交． ③当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离． ④当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含． 学生用书第37页 　　方法技巧 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤 第一步：将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径； 第二步：计算两圆圆心的距离d； 第三步：通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合． 即时练1.已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0. (1)当a为何值时，两圆外切？ 解析：　将两圆的方程写成标准方程为 C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4. 所以两圆的圆心和半径分别为 C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2. 设两圆的圆心距为d， 则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. 当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2. (2)当a＝1时，试判断两圆的位置关系． 解析：　将两圆的方程写成标准方程为 C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4. 所以两圆的圆心和半径分别为 C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2. 设两圆的圆心距为d， 则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. 当a＝1时，d＝＝，r1＝3，r2＝2， 因为|r2－r1|＜d＜r2＋r1，所以两圆相交． (链接教材P36例10)已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________________． 解析：　设圆C的半径为r， 又圆心距d＝＝5，所以当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，所以圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 答案：　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 　　方法技巧 　处理两圆相切问题的思路 1．定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． 2．转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)