第一章 2.3 直线与圆的位置关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

2.3　直线与圆的位置关系 [学习目标]　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．DF00F　2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 知识点　直线与圆的位置关系 “大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片． 1．图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？ 提示：　①相离，②相切，③相交．直线与圆的位置关系有3种，分别是相交、相切、相离． 2．如何判断直线与圆的位置关系？ 提示：　可利用由圆心到直线的距离与半径的大小来判断，也可以根据它们的方程组成的方程组解的情况来判断． 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判断 方法 几何法：圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 [微提醒]　(1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程组解的组数，进一步判断两者的位置关系．(2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离．(3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，较繁琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，也是判断直线与圆的位置关系的常用方法． 已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系． 解析：　法一：(代数法)由方程组 消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0. 因为Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280＞0， 所以该方程组有两组不同的实数解， 即直线l与圆C相交． 法二：(几何法)圆心(7，1)到直线l的距离为d＝＝2.因为d＜r＝6，所以直线l与圆C相交． (链接教材P33例6)已知圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k分别为何值时，直线与圆的位置关系满足下列条件： ①相交；②相切；③相离． 解析：　法一(代数法)：联立消去y，整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0，则Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1)＝－32k2＋4＝4(1－8k2)． ①当直线与圆相交时，Δ＞0，即－＜k＜； ②当直线与圆相切时，Δ＝0，即k＝±； ③当直线与圆相离时，Δ＜0，即k＜－或k＞. 法二(几何法)：圆心(0，0)到直线y＝kx－3k的距离d＝＝.由题意知，圆的半径r＝1. ①当直线与圆相交时，d＜r，即＜1，解得－＜k＜； ②当直线与圆相切时，d＝r， 即＝1，解得k＝±； ③当直线与圆相离时，d＞r，即＞1，解得k＜－或k＞. 　　方法技巧 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可同时求出交点坐标．解题时可根据条件作出恰当的选择． 学生用书第34页 即时练1.已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是(　　) A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 C　[由已知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交．] 即时练2.(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 解析：　A(－2，3)关于y＝a对称的点的坐标为 A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上， 所以A′B所在直线l为y＝x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0； 圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1，依题意圆心到直线l的距离为： d＝≤1，即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得≤a≤，即a∈. 答案：　 (链接教材P33例7)已知直线l过点P(4，5)，且与圆(x－2)2＋y2＝4相切，求直线l的方程． 解析：　因为(4－2)2＋52＝29＞4， 所以点P在圆(x－2)2＋y2＝4外． ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0， 由＝2，得k＝，