第一章 2.2 圆的一般方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

2.2　圆的一般方程 [学习目标]　1.探索并掌握圆的一般方程及其特点．　2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小．　3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 知识点一　圆的一般方程 请回答以下问题： 1．已知圆心(2，3)，半径为2，写出圆的标准方程；能否化为二元二次方程的形式？方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？ 提示：　(x－2)2＋(y－3)2＝4；可以化为：x2＋y2－4x－6y＋9＝0；方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0，配方化为(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圆． 2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示：　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得，2＋2＝，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点. 1．圆的一般方程的概念 当D_2＋E_2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程． 2．圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心和半径 圆C的圆心为，半径长为_. [微提醒]　(1)在圆的一般方程中，系数D，E，F没有明显的几何意义，但在配方后，它们的几何意义是： 表示圆心，表示圆的半径．(2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件． 下列二元二次方程中，哪些表示圆？如果是圆，求出它的圆心和半径： (1)x2＋y2－4x＝0； 解析：　(1)方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，表示圆心坐标是(2，0)，半径是2的圆． (2)x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0； (2)方程可变形为(x－2a)2＋(y－a)2＝a2.当a＝0时，方程表示点(0，0)；当a≠0时，方程表示圆心坐标是(2a，a)，半径是|a|的圆． (3)4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0. (3)方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋＝0，即2＋2＝－，方程不表示任何图形． (2023·山东枣庄八中月考)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________． 解析：　法一：方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，若它表示圆，则满足1－a＞0，故a＜1. 法二：要使方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则需满足(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，解得a＜1. 答案：　(－∞，1) 　　方法技巧 判断二元二次方程是否表示圆的思路 判断二元二次方程是否表示圆时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形为标准方程的形式，看方程等号右端是否为大于零的常数． 即时练1.已知方程x2＋y2－2(t＋2)x＋2(1－2t2)y＋4t4－2t2＋8t＋8＝0表示的图形是圆． (1)求t的取值范围； 解析：　(1)将方程化为[x－(t＋2)]2＋[y＋(1－2t2)]2＝－t2－4t－3，因为该方程表示圆，所以－t2－4t－3＞0，由此解得－3＜t＜－1.所以t的取值范围为(－3，－1)． (2)求其中面积最大的圆的方程． (2)要使圆的面积最大，则需其半径r最大，因为r2＝－t2－4t－3＝－(t＋2)2＋1，所以当t＝－2时，r2有最大值，且最大值为1，即r的最大值为1，于是面积最大的圆的方程为x2＋(y－7)2＝1. 学生用书第31页 (链接教材P31例4)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程． 解析：　法一：(待定系数法)： 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q的坐标分别代入上式， 得 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③ 由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的两根． 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F ＝48.④ 联立①②④，解得或 故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 法二：(几何法)： 由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0. 所以所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)． 又圆C的半径长r＝|CP|＝.右右右① 由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|. 所以r2＝a2＋2，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，所以r1＝，r2＝. 故所求圆的方程为(x－1)2＋