第一章 2.1 圆的标准方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§2　圆与圆的方程 2.1　圆的标准方程 [学习目标]　1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程．　2.能根据所给条件求圆的标准方程．　3.判断点与圆的位置关系，并能解决相关问题． 知识点一　圆的标准方程 请回答以下问题： 1．圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：　圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)，其中定点是圆心，定长就是半径．确定圆的要素是圆心和半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2．已知圆心为C(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示：　设圆上任一点P(x，y)，则|PC|＝r，由两点间的距离公式，得＝r， 两边平方整理，得方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. [微提醒]　(1)圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，只要求出a，b，r，圆的方程就确定了，因此，确定圆的标准方程需要三个独立条件，其中圆心是定位条件，半径是定形条件． (2)圆的标准方程的右端r2＞0，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． (3)圆的标准方程可用来解决：①已知圆心和半径求圆的方程的问题；②已知圆心及圆上一点求圆的方程的问题(圆心与圆上一点间的距离即半径)． [记结论] 几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点(圆心(a，b)，半径r＝) (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 圆心在原点(即a＝0，b＝0，半径为r，r＞0) x2＋y2＝r2 圆心在x轴上(即b＝0，半径为r，r＞0) (x－a)2＋y2＝r2 圆心在y轴上(即a＝0，半径为r，r＞0) x2＋(y－b)2＝r2 学生用书第27页 圆心在x轴上且过原点(即b＝0，半径r＝|a|，r＞0) (x－a)2＋y2＝a2 圆心在y轴上且过原点(即a＝0，半径r＝|b|，r＞0) x2＋(y－b)2＝b2 与x轴相切(圆心(a，b)，半径r＝|b|，r＞0) (x－a)2＋(y－b)2＝b2 与y轴相切(圆心(a，b)，半径r＝|a|，r＞0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2 下列方程分别表示什么图形？ (1)(x－1)2＋(y－1)2＝0； 解析：　(1)(x－1)2＋(y－1)2＝0表示的是到点(1，1)的距离等于0的点的集合，显然只有(1，1)这一点，即(x－1)2＋(y－1)2＝0表示的图形是一个点，这个点的坐标是(1，1)． (2)(x＋2)2＝16－(y－3)2； (2)(x＋2)2＝16－(y－3)2可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，该方程表示圆心为(－2，3)，半径为4的圆． (3)x＝. (3)将x＝两边平方得x2＋y2＝1，但由于x＝≥0， 因此x＝对应的图形是圆x2＋y2＝1中满足x≥0的半圆． 　　方法技巧 　　判断方程表示的图形时，先将方程化为圆的标准方程的形式，并注意确定变量的取值范围，然后根据圆的定义判断方程表示的图形． 即时练1.右图表示的方程可以是(　　) A．(x＋y－1)·(x2＋y2－1)＝0 B．·(x2＋y2－1)＝0 C．(x＋y－1)·＝0 D．·＝0 C　[由题图可知曲线的方程可以是x2＋y2＝1或在x2＋y2＞1的条件下有x＋y－1＝0.故选C．] 根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心为(3，4)，半径等于； 解析：　(1)圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2. (2)经过A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)三点； (2)法一：因为圆经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上． 由题意知圆心在x轴上，所以圆心坐标为， 则半径为 ＝， 所以圆的标准方程为2＋y2＝. 法二：根据题意，圆心在x轴的正半轴上，设圆心坐标为(a，0)(a＞0)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)． 由题意得解得 所以圆的标准方程为2＋y2＝. (3)(链接教材P29例3)求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程． (3)法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y＝x. 则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由得 即圆心为(1，1)， 圆的半径为＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 　　方法技巧 圆的标准方程的三种求法 1．定义法：利用圆的定义求解圆的标准方程． 2．几何法：利用图形的几