3.1.2 椭圆的简单几何性质（九大考点）-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

3.1.2椭圆的简单几何性质 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2.能利用椭圆的简单性质求标准方程； 3.会判断直线与椭圆的位置关系； 4.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题. 一、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 二、直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示． 2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论： 直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交； 直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切； 直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离． 3．弦长问题 设直线交椭圆于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 考点01由椭圆方程得到几何性质 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，点在上，，则该椭圆的长轴长为 ． 2．椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积是 . 3．（多选）已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（    ） A． B．13 C． D．19 4．（多选）中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器．如图，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．已知椭圆：，为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆上一点．若，则 ． 6．求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆． 考点02由几何性质得到椭圆方程 7．与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C过点，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 9．已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交椭圆于、两点．若的周长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知椭圆的方程为，且离心率为，则下列选项中不满足条件的为（    ） A． B． C． D． 12．分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 13．求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)经过点，的椭圆标准方程. (2)焦点在轴上，短轴长为12，离心率为的椭圆标准方程. 考点03求椭圆的离心率 14．已知椭圆的左焦点为F，下顶点为A，AF的延长线交C于点B，若，则C的离心率为 . 15．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点，点P在x轴上，，且为线段的中点，则C的离心率为 . 16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 17．已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．设椭圆C：的半焦距为c，离心率为e，已知圆O：与C有四个公共点，依次连接这四点组成一个正方形，则（    ） A． B． C． D． 20．已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 考点04求椭圆离心率的取值范围 21．已知圆与椭圆 ，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．设椭圆的焦点为为椭圆上的任意一点，的最小值取值范围为，其中，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 23．已知两定