第七章 1 一元线性回归-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

§1　一元线性回归 　 第七章　统计案例 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义．了解最小二乘法原理．掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件．　 2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 学习目标 课 时 精 练 知识点二　一元线性回归方程 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　直线拟合 内 容 索 引 知识点一　直线拟合 索引 在校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系．我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 提示：数学成绩与物理成绩这两个变量之间的关系不是函数关系，而是相关关系． 问题导思 1．散点图 如图，每个点对应的一对数据(xi，yi)，称为成对数据．这些点构成的图称为散点图． 新知形成 2．曲线拟合、直线拟合 (1)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用________________来近似地描述．这样近似描述的过程称为曲线拟合． (2)若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在__________附近波动，此时就可以用__________来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合． 一条光滑的曲线 一条直线 一条直线 5个学生的数学和物理成绩如下表： 画出散点图，并判断它们是否适合直线拟合． 例1 学生 学科 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示． 由散点图可见，所有点都在一条直线附近波动，适合直线拟合． 　　判断变量是否适合直线拟合，一种常见的方法是绘制散点图，散点图是分析研究两个变量是否适合直线拟合的重要手段．从散点图中，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量是可以直线拟合的． 方法技巧 即时练1.下列各选项中两个变量x，y可以利用直线拟合的是 √ C中各点分布在某条直线周围，因此可以利用直线拟合．故选C． 索引 知识点二　一元线性回归方程 索引 在两个变量X和Y的散点图中，若所有的点在一条直线附近波动，可以用一条直线拟合这两个量之间的关系，应如何求这条直线的方程呢？ 问题导思 1．最小二乘法 对于给定的两个变量X和Y，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点．现在希望找到一条直线Y＝a＋bX，使得对每一个xi(i＝1，2，…，n)，由这个直线方程计算出来的值a＋bxi与实际观测值yi的差异__________．为此，希望[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到________，换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到________．这个方法称为最小二乘法． 新知形成 尽可能小 最小 最小 2．线性回归方程 使[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小的a，b取值为 微提醒 (链接教材P231例1)某种产品的广告费用支出X(单位：百万元)与销售额Y(单位：百万元)之间有如下的对应数据． (1)画出散点图； 散点图如图所示． 例2 X/百万元 2 4 5 6 8 Y/百万元 30 40 60 50 70 (2)求Y关于X的线性回归方程； 列出表格． i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 4 5 6 8 25 yi 30 40 60 50 70 250 xiyi 60 160 300 300 560 1 380 x 4 16 25 36 64 145 所以所求的线性回归方程为Y＝17.5＋6.5X. (3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额． 根据(2)中求得的线性回归方程，可得当广告费用支出为10百万元时，Y＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)， 即广告费用支出为10百万元时，销售额估计为82.5百万元． 求线性回归方程的步骤 第一步：作出散点图，判断两变量是否具有线性关系，若具有线性关系，则可求其线性回归方程； 方法技巧 方法技巧 即时练2.某班5名学生的数学和物理成绩如表： (1)画出散点图； 散点图如图所示． 　　　学生 学科成绩　　　　 A B C D E 数学成绩X/分 88 76 73 66 63 物理成绩Y/分 78 65 71 64 61 (2)求物理成绩Y关于数学成绩X的线性回归方程； 故Y关于X的线性回归方程是Y＝0.625X＋22.05. (3)一名学生的数学成绩是96分，试预