第五章 习题课 组合的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

习题课　组合的应用 　 第 五 章 §3　组合问题 1.通过实例进一步理解组合的概念．　 2.通过解决有关组合的实际问题，培养分析问题和解决问题的能力． 学习目标 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 应用1　有限制条件的组合问题 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； 例1 (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． 分两种情况： 第二类：女队长不当选，则男队长当选， 有限制条件的组合问题的解题策略 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 方法技巧 即时练1.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，各有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； 从中任取5人是组合问题，不同的选法种数为C ＝792. (2)甲、乙、丙三人必须参加； 甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，不同的选法种数为C ＝36. (3)甲、乙、丙三人不能参加； 甲、乙、丙三人不能参加，则只需要从另外的9人中选5人，不同的选法种数为C ＝126. (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步： 应用2　分组分配问题 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ (1)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； 例2 (3)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本． (2)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； 分组、分配问题的求解策略 1．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种． (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等； (2)部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！； (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． 2．分配问题属于“排列”问题． 分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 方法技巧 (2)每盒至多一球，有多少种放法？ 即时练2.将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中． (1)有多少种放法？ 每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法． 这是全排列问题，共有A ＝24(种)放法． (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有C ＝12(种)放法． 应用3　相同元素的分配问题隔板法 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数． (1)每个盒子都不空； 先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C ＝10(种)． 例3 (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． 恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C 种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块隔板与前面三块隔板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C 种插法． 相同元素分配问题的处理策略 1．隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题． 2．将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C 种方法．可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块板． 方法技巧 即时练3.把16个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要大于盒子的编号数，则不同放法种数为 A．18 B．28 C．36 D．42 根据题意，16个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的10个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，将剩下的10个球排成一排，它们之间有9个空位，在9个空位中任选2个，有C ＝36(