第五章 培优增分6 排列、组合问题的破解技法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

培优增分6　排列、组合问题的破解技法 　 第 五 章 §3　组合问题 排列、组合问题是高考的必考题，它联系实际、生动有趣，但题型多样、思路灵活，不易掌握．实践证明，掌握题型和解题方法、识别模式、熟练运用，是解决排列、组合应用题的有效途径．下面就谈一谈排列、组合应用题的解题技法． 技法1　特殊元素、特殊位置优先法 把1，2，3，…，9这九个数填写在如图所示的九宫格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下也依次增大．若数4固定在中心位置，则所有填写空格的方法共有________种． 典例1 12 解答含有特殊元素或位置问题的方法 若以元素为主时，先满足特殊元素的要求；以位置为主时，先满足特殊位置的要求．具体解答时还要辩证地看待“元素”和“位置”，哪些事件看成元素或位置，要视具体情况而定． 方法技巧 即时练1.3名男生，4名女生站成一排照相，若甲不站中间也不站两端，则有________种不同的站法． 2 880 技法2　相邻问题捆绑法 两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________． 分3步进行分析， 典例2 24 解答相邻问题的方法 相邻问题可以采用捆绑法，将相邻的元素作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列． 方法技巧 即时练2.4名学生和3位老师排成一排合影，恰有两位老师相邻的不同排法有 A．240种 B．2 880种 C．720种 D．960种 √ 技法3　不相邻问题插空法 某地媒体为了宣传医护人员A，B，C，D，E，F共6人(其中A是队长)的优秀事迹，让这6名医护人员与接见他们的一位领导共7人站成一排进行拍照，则领导和队长站两端且B，C两人相邻，而B，D两人不相邻的站法种数为 A．36 B．48 C．56 D．72 典例3 √ 　　不相邻问题可以采用插空法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式排入． 方法技巧 即时练3.某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是 A．24 B．16 C．8 D．12 √ 技法4　定序问题消序法 7人站成一排． (1)甲、乙、丙三人排列顺序一定时，有________种不同排法； 法二(插空法)：7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故共有A ＝7×6×5×4＝840(种)不同排法． 典例4 840 (2)甲在乙的左边，有________种不同的排法． 甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是二者之和，因此满足条件的有 ＝2 520(种)． 2 520 固定顺序的排列问题的求解方法 方法技巧 即时练4.某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有________种不同的答题顺序． 60 技法5　相同元素的分配问题隔板法 某校准备参加2023年高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，每班至少一个名额． (1)不同的分配方案共有多少种？ 问题相当于将16个小球串成一串，插入3块隔板，截为4段，16个小球间有15个空隙，从中选3个插入隔板，插法种数为C ＝455.故不同的分配方案共有455种． 典例5 (2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？ 问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个小球，再把余下的10个小球放入4个盒子里，求每个盒子里至少有1个小球的分配方法种数问题．即相当于将10个小球串成一串，截为4段，10个小球间有9个空隙，从中选3个插入隔板，插法种数为C ＝84，因此不同的分配方案共有84种． 相同元素的分配问题用“隔板法” “隔板法”的解题步骤： (1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量； (2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数； (3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数． 方法技巧 即时练5.有10个运动员名额，分给班号分别为1，2，3的3个班． (1)每班至少1个名额，有多少种分配方案？ 因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分法，共有C ＝36种分法． 下图是其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的名额分别