第五章 4.1 二项式定理的推导-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

4.1　二项式定理的推导 　 第 五 章 §4　二项式定理 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．　 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．　 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 学习目标 课 时 精 练 知识点　二项式定理 综 合 应 用 随 堂 演 练 内 容 索 引 知识点　二项式定理 索引 观察以下各式： (a＋b)1＝a＋b， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， 1．(a＋b)5的展开式是什么？ 提示：(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5. 问题导思 2．它们的系数之间有何规律？各项系数与我们学过的组合数有何联系？那么(a＋b)n的展开式又是什么？ 二项式定理 新知形成 二项展开式的特点： (1)项数：有n＋1项． (2)次数：各项的次数都等于二项式的次数n. (3)顺序：字母a按降幂排列，次数由n减到0，字母b按升幂排列，次数由0增到n. (4)系数：二项展开式中，二项式系数为C (k＝0，1，…，n)，这是一组仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，而与a，b无关． 微提醒 例1 应用二项式定理的解题策略 1．正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负交替的情况．对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开． 2．逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [注意]　逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． 方法技巧 所以a＝28，b＝16，所以a＋b＝28＋16＝44. 44 5 (1)求n的值； 例2 所以n2＝81，n＝9. (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数． 设第k＋1项含x3项， 1．(变设问)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的常数项． 变式探究 2．(变设问)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的所有有理项． 故k可取1，3，5，7，9. 故二项展开式的所有有理项为 1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k项，Tk＝C an－k＋1bk－1； (2)求含xk的项(或xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项． 方法技巧 2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 方法技巧 A．－3 B．－2 C．2 D．3 √ 例3 (2)(1＋x＋x2)(x－2)5的展开式中x3的系数为 A．40 B．80 C．－40 D．－80 (1＋x＋x2)(x－2)5＝(1＋x＋x2)(－2＋x)5， √ 多项式积的展开式 对于几个多项式积的展开式求定项系数的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 方法技巧 索引 －40 索引 综　合　应　用 索引 多项式(a＋b＋c)n的展开式问题 求(a＋2b－3c)4的展开式中abc2的系数． 例4 解多项式的展开式问题的两种思路 1．转化为二项式求解 (1)求多项式(a1＋a2＋…＋an)n的展开式，可以把其中几项结合，转化为二项式，再利用二项式定理展开． (2)常见类型 ①完全平方型：如(x2－2x＋1)n＝(x－1)2n； ②因式分解型：如(x2－2x－3)n＝(x－3)n•(x＋1)n. ③结合律型：如(a－2b－3c)n＝[(a－2b)－3c]n. 2．利用组合原理 依据组合原理结合组合数公式和多项式乘法法则求解． 方法技巧 即时练4.(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为 A．10 B．20 C．30 D．60 法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， √ 索引 索引 1．(a＋b)2n的展开式的项数是 A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2(n＋1) 易知二项式(a＋b)2n的展开式中有2n＋1项，故展开式的项数为2n＋1.故选B． √ 2．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得 A．x4 B．(x－1)4 C．(x＋1)4 D．x5 原式＝(x－1＋1)4＝x4.故选A． √ A．10 B．－10 C．80 D．－