第三章 4.3 第1课时 空间中的角-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

第1课时　空间中的角 　 第 三 章 4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 1.能用向量语言表述线线、线面、面面所成角的概念．　 2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面所成角的问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 学习目标 课 时 精 练 知识点一　两条直线所成的角 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点三　两个平面所成的角 知识点二　直线与平面所成的角 内 容 索 引 知识点一　两条直线所成的角 索引 在必修课程中，我们学习过异面直线所成的角，那么在空间中怎样用直线的方向向量描述两条直线所成的角？ 提示：　空间两条直线所成的角由它们的方向向量所成的角确定．若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a和b所成的角θ∈ ，且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉相等或互补，cos θ＝|cos〈a，b〉|. 问题导思 用向量运算求两条直线所成的角 若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈________，且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉____________．也就是说： 新知形成 相等或互补 〈a，b〉 π－〈a，b〉 |cos〈a，b〉| 微提醒 设u1＝(1，2，－2)，v2＝(－2，3，2)分别是直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2所成的角θ＝____． 例1-1 (链接教材P127 例8)如图，三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，且∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，OB＝OO1＝2，OA＝ ，求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值． 例1-2 设所求的角为α， 用坐标法求异面直线所成的角的一般步骤 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：分别求出两条异面直线的方向向量的坐标； 第三步：利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量所成的角； 第四步：结合异面直线所成的角的范围求出异面直线所成的角． 方法技巧 即时练1.已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则直线l1与l2所成角的余弦值为 √ √ 索引 知识点二　直线与平面所成的角 索引 直线的方向向量l与平面的法向量n所成的角是直线与平面所成的角θ吗？它们有怎样的关系？ 问题导思 用向量运算求直线与平面所成的角 新知形成 |cos〈l，n〉| 微提醒 (2023•山东济宁高二质量检测)已知平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，直线l的一个方向向量为m＝(1，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为 例2-1 √ (链接教材P128 例9)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值． 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，D(0，0，0)， 例2-2 用坐标法求直线与平面所成角的基本步骤 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：分别求出直线的方向向量u和平面的法向量n的坐标； 方法技巧 即时练3.(2020•新高考Ⅱ卷)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； 过P在平面PAD内作直线l∥AD，由AD∥BC，可得l∥BC，即l为平面PAD和平面PBC的交线，因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，又BC⊥CD，CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PCD，因为l∥BC，所以l⊥平面PCD． (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝ ，求PB与平面QCD所成角的正弦值． 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，B(1，1，0)，作PQ∥AD，则PQ为平面PAD与平面PBC的交线为l， 索引 知识点三　两个平面所成的角 索引 两个平面相交形成四个二面角，那么二面角的平面角与两个平面的法向量存在怎样的关系？ 提示：已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，θ为平面α与平面β所成的平面角，则θ与两法向量所成角〈n1，n2〉相等或互补． 问题导思 用向量运算求平面与平面所成的角 一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等(如图①)或互补(如图②)． 新知形成 二面角的取值范围是[0，π]，求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角． 微提醒 A．120° B．30° C．60° D．30°或150° 例3-1 √ (链接教材P130 例10)如图，在四棱