第三章 4.1 直线的方向向量与平面的法向量-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

4.1　直线的方向向量与平面的法向量 　 第 三 章 §4　向量在立体几何中的应用 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．　 2.会求直线的方向向量和平面的法向量． 学习目标 课 时 精 练 知识点二　平面的法向量 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　直线的方向向量与直线的向量表示 内 容 索 引 知识点一　直线的方向向量与直线的向量表示 索引 空间中给定一个点M和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l? 提示：如图，已知点M是直线l上一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得 ＝t a，这个式子称为直线l的向量表示．由此可见，空间中任意一条直线l的位置可以由直线l上的一个定点和该直线的方向向量唯一确定． 问题导思 1．直线的方向向量 设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称 为直线l的方向向量． 2．直线的向量表示 已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量．那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得 ＝t a．我们把这个式子称为直线l的向量表示． 新知形成 (1)在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与直线l平行或重合． (2)直线的方向向量通常有无数个，同一条直线的方向向量都是共线向量． (3)若两条直线平行，则这两条直线的方向向量一定平行(共线)．反之，若两条直线的方向向量平行，则这两条直线平行或重合． 微提醒 例1 (2)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B (－1，2，z)两点，则y－z＝___． 因为A(0，y，3)和B(－1，2，z)， 所以 ＝(－1，2－y，z－3)， 因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)， 故设 ＝km.所以－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k. 0 (3)在如图所示的坐标系中，六面体ABCD -A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为____________________． (0，0，1) (0，1，1)(答案不唯一) 　　求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算． 方法技巧 即时练1.(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是 A．(2，2，6) B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) √ √ 因为M，N在直线l上，且 ＝(1，1，3)， 所以向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量．故选AB． √ 索引 知识点二　平面的法向量 索引 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？ 问题导思 1．平面的法向量 如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则_______． 新知形成 n⊥α 2．平面的向量表示 如图1，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对平面α内任意一点P，必有 •n＝0. 反过来，由立体几何知识可以证明：满足①式的点P都在平面α内，把①式称为平面α的一个向量表示式． 如图2所示，在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有 ＝(x－x0，y－y0，z－z0)，代入①式，得 •n＝(x－x0，y－y0，z－z0)•(A，B，C)＝0，即____________________________________．这个方程叫作平面α的方程． A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． (3)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量，这是因为直线的方向向量与平面的法向量分别用来描述空间直线和平面的位置，而零向量的方向是任意的，无法用零向量来描述空间直线与平面的位置． 微提醒 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点， 例2 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， 1．(变设问)若本例条件不变，求平面PAD的一个法向量． 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB． 底面