第二章 培优增分4 抛物线的焦点弦的常见性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

培优增分4　抛物线的焦点弦的常见性质 　 第 二 章 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦的常见性质 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是焦点，直线AB的倾斜角为θ，准线l交x轴于点N，过A，B分别作准线l的垂线AC，BD，垂足分别为C，D．连接AN，BN，CF，DF，AO，BO. 典例1 设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，直线AB的方程为x＝my＋ ，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， y2＝8x 类型二　焦点弦长问题 (2023•山西太原师院附中高二上月考)已知抛物线y＝mx2(m＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝6，则焦点F的坐标为 典例2 √ 类型三　焦半径问题 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于 A．4 B． C．5 D．6 法一：由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设点A，B在准线上的射影分别为点D，C，过点B作BE⊥AD于点E， 设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m， 由抛物线的定义知：|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m， √ 典例3 类型四　焦点弦有关的面积问题 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 √ 典例3 　　解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 方法技巧 即时练1.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 的值一定等于 A．－4 B．4 C．p2 D．－p2 √ 由抛物线的焦点弦性质可知， √ 即时练3.(2017•全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 设直线l1的倾斜角为θ，则直线l2的倾斜角为 ＋θ，所以由抛物线的焦点弦的性质可知， √ 即时练4.(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论正确的是 设过抛物线的焦点F的直线方程为x＝my＋ ，代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0， 所以y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm， 所以x1x2＝ ，x1＋x2＝2pm2＋p. √ √ √ 即时练5.(多选)(2022•新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p＞0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0)，若|AF|＝|AM|，则 A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM＋∠OBM＜180° √ √ √ 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 圆 锥 曲 线 则有：(1)|AF|＝x1＋＝， |BF|＝x2＋＝. (2)＋＝. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝. (4)S△AOB＝. (5)以AB为直径的圆与准线l相切，以AF为直径的圆与y轴相切． (6)y1y2＝－p2，x1x2＝. 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若•＝－12，则抛物线C的方程为__________． 则x1x2＝，y1y2＝－p2，得•＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得 p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x. A．(0，) B．(0，) C．(0，) D．(0，) 法一：y＝mx2(m＞0)可化为x2＝y，则F(0，)，所以直线AB的方程为 y＝x＋，与y＝mx2(m＞0)联立，消去x，得3y2－y＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝.由|AB|＝y1＋y2＋＝6，解得＝，所以焦点F的坐标为(0，)．故选B． 法二：设直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝，得＝6×＝，所以焦点F的坐标为(0，)．故选B． 法三：因为|AF|＝2|BF|，且＋＝得，＋＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.故选B． 所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2，则sin2θ＝8cos2θ，所以sin2θ＝.又 y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.故选B． 法二：由|AF|＝2|BF|得，＝2×， 解得cos θ＝，再由|AB|＝得，|AB|＝.故选B． A．