第二章 培优增分3 椭圆中的焦点三角形-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

培优增分3　椭圆中的焦点三角形 　 第 二 章 §1　椭圆 设F1和F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的任意一点，当P，F1，F2三点不在同一条直线上时，点P，F1，F2构成一个三角形，我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形，(如图)．在上节中对焦点三角形进行了初步的了解，下面对其再深入研究． (1)求△F1PF2的面积S； 典例 如图所示，由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a.由余弦定理，可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|•|PF2|•cos θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2•|PF1|•|PF2|－2|PF1|•|PF2|•cos θ＝4a2－2|PF1|•|PF2|•(1＋cos θ)＝4c2，所以|PF1|•|PF2|＝ (2)因为θ为△PF1F2的内角，所以θ∈(0，π)，即 1．解决与椭圆焦点三角形有关问题的基本思路 画出图形，观察图形，充分利用椭圆的定义，正、余弦定理以及三角形的面积公式等来分析解决问题． 2．与椭圆焦点三角形有关的常用公式(重点) (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. (2)在焦点三角形MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|•cos∠F1MF2. 方法技巧 即时练1.(2023•天津静海区第六中学高二上月考)P是椭圆 ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|•|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为 A．30° B．60° C．120° D．150° √ √ √ √ 对于选项A和选项B，当点P的坐标为(0，b)或(0，－b)时，∠F1PF2最大，且当a＝ b时，∠F1PF2＝90°，故易知选项A和B正确；对于选项C，△PF1F2的周长为2a＋2c＜4a，故选项C正确；对于选项D，△PF1F2的面积为 |F1F2||yp|∈(0，bc]，故选项D错误．故选ABC． (1)求|PF1|2＋|PF2|2的最小值； (2)求∠F1PF2的最大值； (3)若∠F1PF2＝90°，求三角形F1PF2的面积． 索引 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 圆 锥 曲 线 所以S＝|PF1|•|PF2|•sin θ＝••sin θ＝•b2＝b2tan . 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝θ. . ∈. 令点P顺时针方向由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高逐渐增大，故S逐渐变大．从而tan 逐渐变大，由∈可知，也逐渐变大．由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值． 因为θ为△PF1F2的内角，所以θ∈(0，π)，即∈. (3)设焦点在x轴上的椭圆上任一点M(xM，yM)(yM≠0)，则焦点三角形的面积 S△F1MF2＝c|yM|＝|MF1||MF2|•sin∠F1MF2＝b2tan .当|yM|＝b，即点 M的位置为椭圆与y轴的交点时，S取最大值，最大值为bc. ＋ 由题意知|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2.又|PF1|•|PF2|＝12，(|PF1|＋|PF2|)2＝64，所以|PF1|2＋|PF2|2＝40.在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝＝，所以∠F1PF2＝60°.故选B． 即时练2.(多选)(2023•广东湛江高二模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则下列结论正确的是 A．当a＝b时，满足∠F1PF2＝90°的点P有2个 B．当a＞b时，满足∠F1PF2＝90°的点P有4个 C．△PF1F2的周长小于4a D．△PF1F2的面积大于等于 所以c＝，所以|F1F2|＝2， 且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. 因为|PF1|2＋|PF2|2≥2|PF1|•|PF2|， 所以2(|PF1|2＋|PF2|2)≥|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|•|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2， 所以|PF1|2＋|PF2|2≥(|PF1|＋|PF2|)2＝×16＝8，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时，取等号． 所以|PF1|2＋|PF2|2的最小值为8. 即时练3.已知P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，且点P不在x轴上，F1，F2为椭圆的两焦点． 因为椭圆方程为＋y2＝1， 所以a＝2，b＝1， 且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝ ＝＝＝－1. 因为椭圆方程为＋y2＝1， 所以a＝2，b＝1， 所以c＝，所以|F1F2|＝2， 所以－1≥－， 所以cos∠F1PF2≥－， 又因为0≤∠F1PF2≤π， 所以当co