第二章 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

4.1　直线与圆锥曲线的交点 　 第 二 章 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．　 2.掌握直线与圆锥曲线有关问题的求解方法． 学习目标 课 时 精 练 知识点　直线与圆锥曲线的交点 综 合 应 用 随 堂 演 练 内 容 索 引 知识点　直线与圆锥曲线的交点 索引 类比直线与圆的位置关系，探究直线与圆锥曲线的位置关系时，如何确定直线与圆锥曲线的位置关系？ 提示：　联立直线与圆锥曲线方程，看公共点的个数．直线与圆锥曲线交点个数与两者对应方程的公共解的个数是相同的． 问题导思 直线与圆锥曲线的位置关系 联立直线与圆锥曲线的方程，消元得方程ax2＋bx＋c＝0，则直线与圆锥曲线的位置关系与条件对应如图所示： 新知形成   方程特征 a＝0 a≠0，Δ＞0 a≠0，Δ＝0 a≠0，Δ＜0 直 线 与 椭 圆 交点个数   2 1 0 位置关系   相交 相切 相离 图示   (1)直线与圆锥曲线位置关系的判断方法： (2)利用代数方法判断直线与双曲线、抛物线的位置关系时，注意方程组有一解时，直线与双曲线、抛物线可能是相交或相切． 微提醒 (1)有两个不同的公共点； 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组： 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③ 关于x的一元二次方程的判别式： Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. 例1 (2)有且只有一个公共点； 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组： 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③ 关于x的一元二次方程的判别式： Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (3)没有公共点． 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组： 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③ 关于x的一元二次方程的判别式： Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. 这时直线l与椭圆C没有公共点． 　　判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则： Δ＞0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ＜0⇔直线与椭圆相离． 方法技巧 A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 √ (链接教材P77 例3)(1)过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？ 当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意． 例2 (2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合． 直线与抛物线交点个数问题的解题思路 1．判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数． 2．直线与抛物线有一个公共点时有两种情形： (1)直线与抛物线的对称轴重合或平行； (2)直线与抛物线相切． 方法技巧 即时练3.抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为 √ (链接教材P78例4)已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围： (1)直线l与双曲线有两个公共点； 直线l与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的实数根． 例3 (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； 直线l与双曲线有且只有一个公共点，则①式方程只有一个实数根． 当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一个解； (3)直线l与双曲线没有公共点． 直线l与双曲线没有公共点，则①式方程无实数根． (变条件)若本例(1)中“直线l与双曲线有两个交点”，变为“直线l与双曲线的右支交于不同的两点”，求实数k的取值范围． 变式探究 直线与双曲线的位置关系判断及应用的处理方法与注意点 1．判断直线与双曲线的位置关系和直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法，但要注意联立直线与双曲线方程后得到的方程的二次项系数能否为零，此时要注意巧妙利用分类讨论和数形结合的思想方法． 2.这类问题一般都是比较棘手的问题，解题时要注意思考问题的角度和方法，特别是运算化简过程中结论与所解决问题的对应关系，同时要注意利用式子的特点灵活化简． 3．与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线．　　 方法技巧 索引 综　合　应　用 索引 辨析直线与圆锥曲线相切与一个公共点的关系 求过点(－1，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线l的方程． 例4 ①当直线l的斜率为0时，则l：y＝1，此时l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点 　　对