第一章 1.5 两条直线的交点坐标-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

1.5　两条直线的交点坐标 　 第 一 章 §1　直线与直线的方程 1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2.理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系． 学习目标 课 时 精 练 知识点　两直线的位置关系与方程组的解 综 合 应 用 随 堂 演 练 内 容 索 引 3 知识点　两直线的位置关系与方程组的解 索引 已知两条直线l1：2x－y＋3＝0，l2：x－2y＋6＝0，画出两条直线的图形，它们的位置关系如何？若相交，如何求出其交点坐标？并思考如何判断l1，l2是否相交？ 问题导思 一般地，对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)如果两条直线相交，则交点的坐标一定是两个方程的________；如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点一定是两直线的交点． ①有唯一解⇔l1与l2相交，此解就是交点的坐标； ②有无数多组解⇔l1与l2重合； ③没有解⇔l1与l2平行，两条直线无公共点． 新知形成 公共解 如何利用直线的一般式方程判定两条直线的位置关系？ 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0　①， l2：A2x＋B2y＋C2＝0　②. 由①×B2－②×B1， 得(A1B2－A2B1)x＝－(C1B2－C2B1)　③. 当A1B2－A2B1≠0时， 微提醒 当A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0时，方程③无解，l1∥l2； 当A1B2－A2B1＝C1B2－C2B1＝0时，方程③有无数个解，l1与l2重合． 可简记为： 微提醒 (链接教材P20练习题2)判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0； 例1 联立直线l1与l2的方程得方程组： ②×6，整理得2x－6y＋3＝0，即方程②可以化为方程①，所以l1与l2重合． (3)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 联立直线l1与l2的方程得方程组： 判断两条直线相交的三种方法 1．方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交； 2．方法二：两直线斜率都存在且斜率不相等； 3．方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． 方法技巧 即时练1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是 A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定，与m，n取值有关 因为直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2， 直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－ ，所以k1≠k2，k1k2≠－1，两直线相交但不垂直．故选C． √ 即时练2.过直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y＋1＝0的交点，且过原点的直线方程为 A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0 C．x－2y＝0 D．x＋2y＝0 √ (2023·安徽合肥市期末)若直线y＝x与直线y＝ x－5的交点在直线y＝kx＋3上，则k的值为___． 例2 1．(变设问)若本例中已知三条直线条件不变，当三条直线不能构成三角形时实数k的值为________． 当三条直线经过同一点时，不能构成三角形， 当三条直线中至少有两条平行时，也不能构成三角形， ②同理当y＝x与y＝kx＋3平行时，k＝1符合题意． 变式探究 2．(变设问)若本例条件变为：若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是_____________． 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点． ①若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1. ②若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1. ③若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1. 当a＝1时，l1，l2与l3三线重合；当a＝－1时，l1，l2平行． a≠±1且a≠－2 将l2，l3 的交点(－a－1，1)代入l1的方程，解得a＝1(舍去)或a＝－2. 所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.故选D． 已知三条直线相交于同一点，求直线方程中的参数，只需求出其中两条直线的交点，利用该点也在第三条直线上即可求解．若已知三条直线有三个不同的交点，则需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上且三条直线的斜率不同． 方法技巧 索引 综　合　应　用 索引 求过两直线交点的直线方程问题 (2023·安徽淮安市模拟)已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P，且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为____________． 例3 x－y－1＝0 法一：由 即点P的坐标为(2，1)，因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以直线l的斜率为1，由点斜式得