2.3.1 全称量词命题与存在量词命题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

2．3　全称量词命题与存在量词命题 ► 对应学生用书P27 [课程标准]　1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．　2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．　3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 2．3.1　全称量词命题与存在量词命题 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、 全称量词与全称量词命题 (1)“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”． (2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：∀x∈M，p(x)． 其中，M为给定的集合，p(x)是一个关于x的语句． 记一记： 命题 全称量词命题“∀x∈M，p(x)” 表述 形式 ①对所有的x∈M，都有p(x)成立； ②对一切x∈M，都有p(x)成立； ③对每一个x∈M，都有p(x)成立； ④任选一个x∈M，都有p(x)成立； ⑤凡是x∈M，都有p(x)成立． 二、存在量词与存在量词命题 (1)“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”． (2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：∃x∈M，p(x)． 其中，M为给定的集合，p(x)是一个关于x的语句． 记一记： 命题 全称量词命题“∃x∈M，p(x)” 表述 形式 ①存在x∈M，使p(x)成立； ②至少有一个x∈M，使p(x)成立； ③对有些x∈M，使p(x)成立； ④对某个x∈M，使p(x)成立． 【基点小试】 1．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是(　　) A．实数都大于0 B．若2x为偶数，则x∈N C．三角形内角和为180° D．有小于1的自然数 解析：选C.A.是全称量词命题，但不是真命题，所以该选项错误； B．是真命题，但不是全称量词命题，所以该选项错误； C．是真命题，也是全称量词命题，所以该选项正确； D．是真命题，但不是全称量词命题，所以该选项错误． 2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．直角三角形的一个内角为90° B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．平行四边形的对角线相互垂直 D．存在一个正数x，使<0 解析：选B.A选项是真命题，但不是存在量词命题；B选项是存在量词命题，当x＝0时满足x2≤0，故命题为真命题；C选项是全称量词命题，且是假命题，因为平行四边形的对角线不一定垂直；D选项是存在量词命题，但不存在大于零的数x，使<0，故命题为假命题． 3．(多选)下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．所有的正方形都是矩形 B．有些梯形是平行四边形 C.∃x∈R，3x＋2>0 D．至少有一个整数m，使得m2<1 解析：选CD.A是全称量词命题，B、C、D为存在量词命题．显然B为假命题； C选项，取x＝0，则3×0＋2>0，为真命题；D选项，取m＝0，则02<1，为真命题． 4．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为______________________． 解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断 例1.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； (5)方程3x－2y＝10有整数解． 解：(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． (2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题． (5)可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题． [总结] 　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 【练一练】 1．(2022·华中师大海丰附属学校高一检测)(多选)下列命题为存在量词命题的是(　　) A．某些二次函数的图象与y轴有交点 B．正方体都是长方体 C．不平行的两条直线都是相交直线 D．存在实数大于或等于2 解析：选AD.根据全称量词和存在量词的定义，可知A、D为存在量词命题，B、C为全称量词命题． 2．用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题． (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； (2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理