2.2 第二课时 充要条件-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

第二课时　充要条件　　　　　　 ► 对应学生用书P24 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 (1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 为了方便起见，如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． “⇒”和“⇔”都具有传递性，即 ①如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s； ②如果p⇔q，q⇔s，则p⇔s； (2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． (4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 想一想：怎样判断命题p是不是q的充要条件？ 提示：需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 【基点小试】 1．△ABC的三个内角为A，B，C，则“B＝60°”是“A＋C＝120°”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.△ABC的三个内角为A，B，C，则∠A＋∠B＋∠C＝π＝180°. 若B＝60°，则一定有A＋C＝120°；反之，当A＋C＝120°，一定有B＝60°. 故“B＝60°”是“A＋C＝120°”的充要条件． 2．设p：两个三角形相似，q：两个三角形的三边成比例，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例， 即p⇔q，故p是q的充要条件． 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　充要条件的判断 例1.(多选)下列选项中，p是q的充要条件的是(　　) A．p：xy>0，q：x>0，y>0 B．p：A∪B＝A，q：B⊆A C．p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两角相等 D．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分 解析：选BC.对于A，由xy>0，得x>0，y>0或x<0，y<0，故p不是q的充要条件，故A错误； 对于B，由A∪B＝A，则B⊆A，若B⊆A，则A∪B＝A，故p是q的充要条件，故B正确； 对于C，三角形是等腰三角形⇔三角形存在两角相等，故p是q的充要条件，故C正确； 对于D，四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p不是q的充要条件，故D错误． [总结] 　充要条件判断的两种方法 (1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向． 【练一练】 1．(多选)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∩B＝A B．∩B＝∅ C．⊆ D．A∪＝U 解析：选BCD.由Venn图可知，B，C，D都是B⊆A的充要条件． 2．下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是______． ①同位角相等；②内错角相等； ③同旁内角互补；④同旁内角相等． 解析：由①②③均可推出“两条直线平行”的结论，由“两条直线平行”也可以推出①②③均成立；由④不能推出“两条直线平行”的结论． 所以可作为“两条直线平行”的充要条件的是①②③. 答案：①②③ 题型二　充要条件的证明 例2.证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 证明：(1)充分性：∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0，<0. ∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根． 设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝<0， ∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根． (2)必要性：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0. 故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. [总结] 　充要条件的证明思路 (1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反． (2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明． 注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向． 【练一练】 3．已知ab≠0，求证：a3＋