2.1 命题、定理、定义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

2．1　命题、定理、定义 ► 对应学生用书P18 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、 命题的定义与分类 1．定义：在数学中，可以判断真假的陈述句叫作命题． 2．命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”． 3．分类：命题 记一记：要判断一个语句是不是命题，先看给出的句子是不是陈述句，再看能否判断其真假，也就是判断其是否成立，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题． 二、命题的结构及定理、定义 1．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 2．定理与定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理． 在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 想一想：下列命题的条件和结论分别是什么？ (1)若x2＝3，则x＝. (2)平行四边形的对角线互相平分． 提示：(1)条件：x2＝3，结论：x＝. (2)条件：四边形是平行四边形，结论：对角线互相平分． 【基点小试】 1．下列语句为命题的有________． ①x∈R，x>2；②22 020是一个很大的数；③4是集合{2，3，4}中的元素；④作△ABC≌△A′B′C′. 解析：①中x有范围，可以判断真假且是陈述句，因此是命题；②是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；③是陈述句且能判断真假，因此是命题；④是祈使句，不是命题． 答案：①③ 2．(1)把命题“矩形的对角线相等”改写成“若p，则q”的形式为____________________________________． 答案：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等 (2)下列命题是真命题的是________(填序号). ①若a＝b，则a2＝b2；②若a2＝b2，则a＝b；③对顶角相等；④两直线平行，同旁内角互补． 答案：①③④ 3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (3)两个相似三角形是全等三角形． 解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． (2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题． (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　命题的判断 例1.下列语句中是命题的有________；是真命题的有________(填序号). ①这幅画真漂亮！ ②求证是无理数； ③并非所有的人都喜欢苹果； ④若x＝2，则x2－1>0. 解析：①是感叹句，不是命题． ②是祈使句，不是命题． ③是命题，有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可以判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题． ④是命题，x＝2时，x2－1＝3>0，可以判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题． 答案：③④　③④ [总结] 　判断语句是否是命题的策略 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题． (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假．若能，就是命题；若不能，就不是命题． 【练一练】 1．判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)函数y＝x2－2x(x∈R)是二次函数； (2)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？ (3)一个数不是奇数就是偶数； (4)2030年6月1日上海会下雨． 解：(1)是命题，满足二次函数的定义． (2)是疑问句，不是命题． (3)是命题，能判断真假且是陈述句． (4)不是命题，不能判断真假． 题型二　命题构成 例2.(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是_________________________________，q是__________________________________． 解析：命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”． 答案：一条直线是弦的垂直平分线　这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧 (2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式． ①函数y＝2x＋1是一次函数； ②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2； ③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0. 解：①若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数． ②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2. ③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0. [总结] 　1.若一个命