第5章 章末总结 (五)函数概念与性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

章末总结　(五)函数概念与性质 ► 对应学生用书P95 　高频考点聚焦 考点一　函数的定义域、值域 1．求函数定于域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集． 2．常见的求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法、判别式法等．求函数的值域是一个较复杂的问题，要认真观察，根据不同的题型选择恰当的方法． 3．通过求解函数的定义域和值域，提升逻辑推理和数学运算素养． 例1.(1)函数f(x)＝＋(x－3)0的定义域是(　　) A．[2，∞) B．(2，＋∞) C．(2，3)∪(3，＋∞) D．[3，∞) 解析：选C.由解得x>2且x≠3.∴函数y＝＋(x－3)0的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). (2)若定义运算a⊕b＝求函数f(x)＝(x＋2)⊕x2的值域． 解：法一　令x＋2<x2，得x<－1或x>2，令x＋2≥x2，得－1≤x≤2. 故f(x)＝ 当x<－1或x>2时，f(x)>1；当－1≤x≤2时，1≤f(x)≤4. ∵(1，＋∞)∪[1，4]＝[1，＋∞)， ∴函数f(x)的值域为[1，＋∞). 法二　由新定义知f(x)的图象如图， 由图象可知f(x)的最小值为1，无最大值．故f(x)的值域为[1，＋∞). 【练一练】 1．若函数y＝f(x)的定义域是[0，4]，则函数g(x)＝的定义域为(　　) A．[0，1)∪(1，4] B．[0，2] C．[0，1)∪(1，2] D．[0，1] 解析：选C.函数y＝f(x)的定义域是[0，4]，f(2x)满足0≤2x≤4，即0≤x≤2，又分母不为0，则x≠1，所以函数的定义域为[0，1)∪(1，2]. 2．函数y＝的值域是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.y＝＝＝－1＋，∵≠0，∴，故选D.考点二　求函数的解析式 1．求函数的解析式最常用的方法是换元法和待定系数法． 2．掌握常见的基本初等函数的类型和求解析式的方法，提升数学运算和逻辑推理素养． 例2.(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________________； (2)已知f＝＋，则f(x)的解析式为____________________． 解析：(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1. ∵f(x)是在R上的奇函数，∴f(0)＝0， ∴f(x)＝ (2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. 所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞). 答案：(1)f(x)＝ (2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) 【练一练】 3．已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________． 解析：因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋. 答案：x＋ 4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式． 解：因为f(x)的对称轴为x＝－1， 所以－＝－1，即b＝2a， 又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1， 由条件③知：a>0，且＝0， 即b2＝4ac，由上可求得a＝，b＝，c＝， 所以f(x)＝x2＋x＋. 考点三　函数性质的综合应用 1．函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意定义域的影响． 2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养． 例3.已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. (1)求实数m和n的值； (2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值． 解：(1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴＝－＝. 比较得n＝－n，n＝0. 又f(2)＝，∴＝，解得m＝2. ∴实数m和n的值分别是2和0. (2)由(1)知f(x)＝＝＋. 任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2) ＝(x1－x2)·. ∵－2≤x1<x2≤－1， ∴x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)在[－2，－1]上单调递增． ∴f(x)max＝f(－1