5.4 第一课时 奇偶性的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

5.4　函数的奇偶性 ► 对应学生用书P89 [课程标准]　结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 第一课时　奇偶性的概念 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为A，如果∀x∈A，都有－x∈A 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 记一记：1.理解函数奇偶性的注意点 (1)从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称． (2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则根据定义可得，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0，即奇函数的图象过原点． (3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集． 2．常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝(a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 3.奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论． (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【基点小试】 1．(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝x(x∈[0，1]) B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x|x| 解析：选CD.利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B，故选CD. 2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) 解析：选B.选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数． 3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 解析：选C.∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　判断函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解：(1)函数的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R. 且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)， 因此函数f(x)是奇函数． (2)由得x2＝1，即x＝±1. 因此函数的定义域为{－1，1}，因为∀x∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}，且f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}． f(－x)＝ 即f(－x)＝ 于是有f(－x)＝－f(x). 所以f(x)为奇函数． [总结] 　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 提醒：(1)分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． (2)若F(x)＝则F(x)是偶函数；若F(x)＝则F(x)是奇函数． 【练一练】 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f＝x＋； (2)f＝. 解：(1)∵函数f的定义域为{x|x≠0}， f＝＋＝－＝－f， ∴f是奇函数． (2)∵函数f的定义域为{x|x≠0}，f＝＝＝－f， ∴f是奇函数． 题型二　奇偶函数的图象问题 例2.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函