4.2.1 对数的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

4．2　对数 ► 对应学生用书P59 4．2.1　对数的概念 [课程标准]　理解对数的概念和运算性质 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、对数的概念 1．对数：一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN ，其中a叫做对数的底数 ，N叫做真数． 2．常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N . 3．自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为ln__N . 记一记：1.对数概念中规定a>0，且a≠1 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0，则①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1，则①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．因此规定a>0，且a≠1. 2．对数式logaN不是loga与N的乘积，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数． 二、对数式与指数式的互化 当a>0且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN． 记一记：指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)： 三、对数的性质 1．0和负数没有对数，即logaN中N>0 . 2．1的对数等于0，即loga1＝0． 3．底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1). 4．对数恒等式：alogaN＝N． 【基点小试】 1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．a>且a≠1 B．0<a< C．a>0且a≠1 D．a< 解析：选B.由题意知解得0<a<. 2．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．8－＝与log8＝－ C．log39＝2与9＝3 D．log77＝1与71＝7 解析：选ABD.A选项，e0＝1⇔ln 1＝0，正确．B选项，8－＝⇔log8＝－，正确．C选项，log39＝2⇔32＝9，C错误．D选项，log77＝1⇔71＝7，正确．故选ABD. 3．3log32＋log21＋log55＝________． 解析：因为3log32＝2，log21＝0，log55＝1，所以原式＝2＋1＝3. 答案：3 4．求下列各式中x的值． (1)log2(log4x)＝0； (2)log3(lg x)＝1. 解：(1)log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4. (2)由已知lg x＝3，∴x＝103＝1 000. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　对数的概念 角度1　指、对数式的互化 例1. 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式： (1)logx＝3；(2)logx64＝－6； (3)3－2＝；(4)＝16. 解：(1)因为logx＝3，所以()3＝x. (2)因为log x64＝－6，所以x－6＝64. (3)因为3－2＝，所以log3＝－2. (4)因为＝16，所以log16＝x. [总结] 　指、对数式互化的注意事项 (1)利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的． (2)并非任何指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有符合a>0，a≠1且N>0时，才有ax＝N⇔x＝logaN. 角度2　对数的底数、真数概念的理解 例2. 求下列各式中x的取值范围： (1)log2x＋1(x＋2)；　(2). 解：(1)由题意得 即故x>－且x≠0. 所以x的取值范围是. (2)根据题意得 即所以x>0且x≠1. 所以x的取值范围是{x|x>0且x≠1}． [总结] 　对数式中要求真数大于0，底数不但要大于0，而且不能等于1. 【练一练】 1．将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝128； (2)log2＝－5； (3)lg 1 000＝3； (4)ln x＝2. 解：(1)由2－7＝128，可得log2128＝－7； (2)由log2＝－5，可得2－5＝； (3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000； (4)由ln x＝2，可得e2＝x. 2．求下列各式中x的取值范围： (1)lg (x＋2)2；　(2)log1－2x(3x＋2). 解：(1)由(x＋2)2>0得x≠－2，故x的取值范围是{x|x∈R且x≠－2}． (2)由知 故x的取值范围是. 题型二　对数的计算 例3. 求下列各式中的x