4.1 指数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

4．1　指数 ► 对应学生用书P54 [课程标准]　1.理解n次方根及根式的概念．能正确运用根式运算性质进行运算．　2.理解分数指数幂的含义；掌握根式与分数指数幂的互化．　3.掌握有理数指数幂及无理数指数幂的运算性质． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为 a<0 x<0 n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为± a<0 x在实数范围内不存在 记一记：在根式符号中，注意以下几点： (1)n>1，n∈N＋. (2)当n为奇数时，对任意a∈R都有意义． (3)当n为偶数时，只有当a≥0时才有意义． 二、根式 (1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：(n>1，且n∈N*) ①()n＝a． ②＝ 记一记：与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a. 三、指数幂及其运算 1．分数指数幂的意义 分数 指数 幂 正分数 指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数 指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 想一想：(1) (a>0)写成根式会是怎样的形式？ (2) 的根式形式中a≤0时又如何？ 提示：(1) (其中a>0，m，n∈N＋，且n>1). (2)若a≤0，不一定有意义，例如无意义，故规定a>0. 【基点小试】 1．(多选)下列四个命题中正确的是(　　) A．正数的偶次方根是一个正数 B．正数的奇次方根是一个正数 C．负数的偶次方根是一个负数 D．负数的奇次方根是一个负数 答案：BD. 2．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.当a<0时，无意义． 3．已知m10＝2，则m等于(　　) A． B．－ C． D．± 解析：选D.m的值可正可负，故选D. 4．下列运算结果中，正确的是(　　) A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6 解析：选A.a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A. 5．＋(－1)0＝________． 解析：＋(－1)0＝m2＋1. 答案：m2＋1 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　根式 角度1　根式的性质 例1.(1)式子＋()3的值等于________. 解析：依题意，原式＝|－2|＋(－2)＝2－2＝0. 答案：0 (2)化简：＋(a<b<0，n>1且n∈N*). 解：当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a. 当n是偶数时， 因为a<b<0， 所以a－b<0，a＋b<0. 所以原式＝－(a－b)－(a＋b)＝－2a. 所以＋＝ [总结] 　1.()n与的理解 ()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性来决定：当n为大于1的奇数时，()n＝a(a∈R)；当n为大于1的偶数时，()n＝a(a≥0).而是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性的限制，因此a∈R，但是该式子的值受n的奇偶性限制，即＝ 2．根式化简的思想 将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式通过恰当地变形，达到化繁为简的目的. 角度2　条件根式的化简 例2.若－4<x<4，求＋的值． 解：原式＝＋＝|x－2|＋|x＋4|. 因为－4<x<4， 所以当－4<x<2时， 原式＝－(x－2)＋(x＋4)＝6. 当2≤x<4时， 原式＝(x－2)＋(x＋4)＝2x＋2. 所以原式＝ [总结] 　条件根式化简的规律 在解决有关根式、绝对值、分式等问题时，一定要仔细观察、分