专题5.4 求二次函数解析式常考类型（六大题型）-2023-2024学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题5.4 求二次函数解析式常考类型（六大题型） 重难点题型归纳 【题型1 开放型】 【题型2 一般式】 【题型3 顶点式】 【题型4两根式】 【题型5平移变换型】 【题型6 对称变换型】 【题型1 开放型】 【典例1】（2023秋•海淀区期中）写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式 ． 【变式1-1】（2023秋•昌平区期中）请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝3的抛物线的解析式 　 　． 【变式1-2】（2022秋•伊川县期末）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ． 【变式1-3】（2023•苏州二模）已知抛物线顶点坐标为（2，3），则抛物线的解析式可能为（　　） A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x+2）2+3 D．y＝﹣（x﹣2）2+3 【题型2 一般式】 【方法点拨】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值； 【典例2】（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【变式2-1】（2022秋•新罗区校级月考）求经过A（﹣1，﹣5）、B（0，﹣4）、C（1，1）三点的抛物线的表达式？ 【变式2-2】（2023春•海淀区校级期末）已知抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（﹣1，5），求该抛物线的解析式． 【变式2-3】（2023秋•崆峒区校级月考）已知二次函数过点A（﹣1，2），B（1，﹣4），C（0，3）三点，求这个二次函数的解析式． 【变式2-4】（2023秋•博乐市月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为P． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABP的面积． 【题型3 顶点式】 【方法点拨】若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数. 【典例3】（2023秋•龙马潭区月考）若抛物线的顶点坐标是A（﹣1，﹣3），并且抛物线经过点B坐标为（1，﹣1）． （1）求出该抛物线的关系式； （2）当x满足什么条件时，y随x的增大而增大． 【变式3-1】（2023秋•临潼区月考）已知二次函数的图象顶点为P（﹣2，2），且过点A（0，﹣2）． （1）求该抛物线的解析式； （2）试判断点B（1，﹣6）是否在此函数图象上． 【变式3-2】（2023秋•越秀区校级月考）已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，﹣3），且经过点B（3，0）． （1）求该二次函数的解析式； （2）判断点C（3，﹣4）、D（1，0）是否在该函数图象上，并说明理由． 【题型4两根式】 【方法点拨】 已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值． 【典例4】（2023•荔湾区校级一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线BC于E． （1）求此二次函数解析式及点D坐标． （2）连接CD，求三角形CDE的面积． （3）ax2+bx+c＞0时，x的取值范围是 　 　． 【变式4-1】（2023秋•广西月考）若二次函数的图象经过（﹣1，0），（3，0），（0，3）三点，求这个二次函数的解析式． 【变式4-2】（2023秋•长沙月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，﹣3）、（1，0）和C（﹣3，0）．求此二次函数的解析式． 【变式4-3】（2023•南山区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积． 【题型5平移变换型】 【方法点拨】将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变． 【典例5】将抛物线y＝x2﹣6x+5向