专题5.6 二次函数与特殊三角形存在性综合问题（三大题型）-2023-2024学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题5.6 二次函数与特殊三角形存在性综合问题（三大题型） 重难点题型归纳 【题型1 等腰三角形的存在性问题】 【题型2 直角三角形的存在性问题】 【题型3 等腰直角三角形存在性问题】 等腰三角形的存在性问题 【方法1 几何法】“两圆一线” （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 注意：若有重合的情况，则需排除． 以点 C1 为例，具体求点坐标： 过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1， 又 类似可求点 C2 、C3、C4 ．关于点 C5 考虑另一种方法． 【方法2 代数法】点-线-方程 表示点：设点C5坐标为(m,0)，又A（1,1）、B（4,3）， 表示线段： 联立方程：，， 直角三角形的存在性 【方法1 几何法】“两线一圆” （1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （2）若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （3）若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C．（直径所对的圆周角为直角） 如何求得点坐标？以为例：构造三垂直． 【方法2 代数法】点-线-方程 【题型1 等腰三角形的存在性问题】 【典例1】（2023秋•江津区校级月考）如图，抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上位于第三象限内的一点． （1）求抛物线的解析式． （2）连接AP、PC、CB，求四边形APCB面积的最大值及此时P点的坐标． （3）点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点D的坐标，并把求其中一个点D的过程写出来． 【变式1-1】（2023秋•东湖区校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N． （1）求这个二次函数的表达式； （2）①若点P仅在线段AO上运动，求线段MN的最大值； ②若点P在x轴上运动，当△CMN为等腰三角形时，写出所有满足条件的点P的坐标． 【变式1-1】（2023秋•大洼区校级月考）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点A（4，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求S△ACE的最大值，并求S△ACE取得最大值时E点坐标； （3）如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【变式1-2】（2023秋•金州区月考）如图，抛物线y＝ax2+bx过点A（5，0），点B（4，4）． （1）求二次函数的解析式． （2）作直线x＝m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值． 【变式1-3】（2023秋•广西月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方的抛物线对称轴上一点，C是第一象限抛物线上一点，若EF＝2，点C的横坐标是5，求证：四边形OECF是平行四边形； （3）在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，当△OCP是等腰三角形时，求点P的坐标． 【变式1-4】（2022秋•河东区期末）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-5】（2023秋•吉林期中）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（﹣1，0），直线y＝﹣x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，与二次函数图象的对称轴交于点D，其中A点的坐标为（﹣3，4），B点在y轴上． （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）求△ABC的面积； （3）在该二次函数的对称轴上是否