专题5.5 二次函数与线段最值面积最值综合应用（四大题型）-2023-2024学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题5.5 二次函数与线段最值/面积最值综合应用（四大题型） 重难点题型归纳 【题型1 线段差最大问题】 【题型2 线段和最小】 【题型3 周长最值问题】 【题型4 求面积最值】 【题型1 线段差最大问题】 【典例1】（2023•汝南县一模）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），其对称轴为x＝2． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限． ①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标； ②在①的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB取得最大值时，求点P的坐标． 【变式1-1】（秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？ 【变式1-2】（连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式； （2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标； 【题型2 线段和最小】 【典例2】（2023秋•金湾区校级月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A． （1）直接写出抛物线的解析式 　　 （2）若直线y＝mx+n经过B，C两点，则m＝　　；n＝　　； （3）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，并求出最小值和此时点E的坐标； 【变式2-1】（2023秋•天津月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）点P是线段OB上的动点． ①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标； ②若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ＝OP，连接AP，DQ，请求出AP+DQ的最小值． 【变式2-2】（2023•潮阳区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若GA+GC有最小值，求此时点G的坐标； 【题型3 周长最值问题】 【典例3】（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求△AOD周长的最小值； 【变式3-1】（2023•恩阳区 模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值； 【变式3-2】（2023•盘锦三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值； ​ 【变式3-3】（2023•佛山二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图1，在对称轴上是否存在一点E，使△AEC的周长最小．若存在，请求出点E的坐标和△AEC周长的最小值；若不存在，请说明理由； 【变式3-4】（2023•贾汪区一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ACP的周长最小？若存在，求出点P的坐标和△ACP的周长的最小值，若不存在，请说明理由； 【题型4 求面积最值】 【典例4】（2023秋•抚远市期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC交于点D，若E是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△ECD 面积的最大值； 【变式4-1】（2