圆锥曲线综合之齐次化巧解斜率的和与积问题 专题-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

齐次化巧解斜率的和积问题 1. 曲线的平移法则： 对于给定曲线，平移口决：左加右减(针对x)，下加上减(针对y) 2. 两直线的斜率之和或积为定值 · 方法拓展 1. 拓展：齐次化巧解斜率的和积问题 2. 原理：平移不改变直线的斜率、韦达定理的运用 3. 步骤：①设：设两直线的斜率分别为k1和k2； ②移：将直线和曲线整体平移，使得两直线的公共点落在原点，写出平移后曲线的方程，并将平移后的目标直线设为固定形式：mx+ny=1 若与定点()的斜率关系,则可设直线方程为 ③联：联立直线和曲线方程，得到开如： 方程两边同时除以x2，得到形如 ④换：令k=，得到，则k1和k2是该方程的两根 ⑤达：韦达定理得到k1+k2和k1k2，从而得到m和n的关系 4.优点：相比传统的韦达定理，计算量大大减少，缺点：mx+ny=1不能表示经过原点的直线 常见三种类型：①为定值(不为0) ② 为定值(不为0) ③ 例1 A、B是抛物线上的两点，且满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：直线AB经过一个定点. 练习1 已知抛物线C：上一点A(2,a)到其焦点的距离为3 (1)求抛物线C的方程； (2)过点(4,0)的直线与抛物线C交于点P、Q两点，O为坐标原点，证明∠POQ=90°. 例2 设曲线C：上一点M(m,2)到焦点的距离为3. (1)求曲线C方程； (2)设P、Q为曲线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点O，试问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由. 练习2 已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在x轴上，双曲线C的右支上一点A使且△AF1F2的面积为1. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于E、F两点(E、F不是左右顶点)，且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. 例3 椭圆E：经过点A(0,-1)，且离心率为 (1)求椭圆E的方程； (2)经过点(1,1)且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P、Q(异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2. 练习3已知椭圆C过点A(),两个焦点为(-1,0),(1,0) (1)求椭圆的方程； (2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值. 例4(2017全国I卷)已知椭圆，四点，中恰有三点在椭圆C上. (1)求C的方程； (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1，求证：l过定点. 练习4设抛物线C：点A(2,0)，B(-2,0),过点A的直线l与C交于M、N两点. (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明:∠ABM=∠ABN 参考答案 例1设A()、B()直线AB的解析式为mx+ny=1，与抛物线联立有即有，此方程是关于的一元二次方程，，即，直线AB的方程为，过定点(4,0) 练习1(1)2+=3得p=2,抛物线的方程为 (2)设P()、Q()直线PQ的解析式为mx+ny=1，与抛物线联立有即有，此方程是关于的一元二次方程，直线PQ过点(4,0)得 ，故∠POQ=90° 例2(1)2+=3得p=2,抛物线的方程为 (2)设P()、Q()直线PQ的解析式为mx+ny=1，与抛物线联立有即有，此方程是关于的一元二次方程，以PQ为直径的圆过原点，则得n=，直线PQ方程为，过定点(0,4) 练习2(1)易知AF1-AF2=2a,AF21+BF22=4c2,得2a=4，b=1,故双曲线的方程为 (2) 设P()、Q()直线PQ的方程 为m(x-2)+ny=1，令p=x-2,q=y，则直线PQ的方程为mp+nq=1与双曲线联立有即有，此方程是关于的一元二次方程，则得m=，直线PQ方程为，过定点(,0) 例3(1) (2)设P()、Q()直线PQ的方程 为mx+n(y+1)=1，令p=x,q=y+1，则直线PQ的方程为mp+nq=1与椭圆联立有即有，此方程是关于的一元二次方程，则，而直线PQ过点(1,1)则有m+2n=1即有m=1-2n，代入可得 练习3(1) (2)设E()、F()直线EF的方程 为m(x-1)+n(y-)=1，令p=x-1,q=y-，则直线EF的方程为mp+nq=1与椭圆联立有即有，此方程是关于的一元二次方程，则得n=-2m,故直线EF的斜率为 例4(1)易知点P2P3 P4 在椭圆上，可得椭圆方程为 (2)设A()、B()直线AB的方程 为mx+n(y-1)=1，令p=x,q=y-1，则直线AB的方程为mp+nq=1与椭圆联立有即有，此方程是关于的一元二次方程，则得m=n+,故