第二章 5 简单复合函数的求导法则-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§5　简单复合函数的求导法则 [学习目标]　1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．　2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如y＝f(ax＋b)的导数).　3.会解决与复合函数有关的简单问题． 知识点一　复合函数的概念 海上一艘游轮发生了泄漏事故，泄出的原油在海面上形成了一个圆形的油膜，油膜的面积S(单位：m2)与油膜的半径r(单位：m)的函数关系式为S＝f(r)＝πr2.油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数关系式为r＝φ(t)＝2t＋1，你能写出油膜的面积S关于时间t的函数关系式吗？ 提示：S＝f(φ(t))＝π(2t＋1)2. 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量． [微提醒]　复合函数中，把函数y＝f(u)称为外层函数，把u＝φ(x)称为内层函数，内层函数和外层函数通常为基本初等函数． 函数y＝sin (2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是(　　) A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin (2x－1) C　[y＝sin (2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1.故选C.] 判断复合函数的复合关系的一般方法 从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系．这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数．　　 即时练1.(多选)下列哪些函数是复合函数(　　) A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－ C．y＝2ln x D．y＝cos ACD　[根据复合函数的定义可以选ACD.] 知识点二　复合函数的导数 在知识点一的问题中，油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？与S＝f(r)＝πr2，r＝φ(t)＝2t＋1的导数有何关系？ 提示：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是S′(t)＝4π(2t＋1)，而S′(r)＝2πr，r′(t)＝2， 则[f(φ(t))]′＝S′(r)·r′(t). 复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为 y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x). [微提醒]　(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构． (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则． (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 求下列函数的导数： (1)y＝ecos x+1； (2)y＝log2(2x＋1)； (3)y＝2sin ； (4)y＝. 解析：(1)设y＝eu，u＝cos x＋1， 则y′x＝y′u·u′x＝eu(－sin x)＝－ecos x+1sin x. (2)设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y′x＝y′u·u′x＝＝. (3)设y＝2sin u，u＝3x－， 则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos . (4)y＝(1－2x)－，设y＝u－，u＝1－2x， 则y′x＝y′u·u′x＝·(－2)＝(1－2x)－. 求复合函数的导数的步骤 　　 即时练2.求下列函数的导数： (1)y＝e2-x； (2) f(x)＝ln x－e2x-1； (3)y＝； (4) y＝sin －cos . 解析：(1)y′＝′e2-x＋′＝e2-x＋＝e2-x. (2)f′(x)＝(ln x)′－(e2x-1)′＝＋－2e2x-1＝－2e2x-1. (3)y′＝. (4)y′＝′－′＝cos ＋sin . 复合函数的导数的应用 (2023·河南洛阳期中)已知函数f(x)＝eax，其中e为自然对数的底数，a∈R.若曲线y＝f(x)在x＝0处的切线与直线x＋y＋a＝0平行，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 A　[f′(x)＝eax＋eax·a＝eax，则f′(0)＝a＋1，又直线x＋y＋a＝0的斜率为－1，故a＋1＝－1，解得a＝－2.故选A.] 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s＝3sin (0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义． 解析：函数y＝s＝3sin 是由函数f＝3sin z和函数z＝φ＝t＋复合而成的，其中z是中间变量． 由导数公式表可得f′＝3cos z，φ′＝. 再由复合函数求导法则得y′t＝s′＝f′φ′＝ 3cos z·＝cos . 将t＝18代入s′，得