第二章 3 导数的计算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§3　导数的计算 [学习目标]　1.理解导函数的定义．　2.掌握基本函数的导数公式．　3.能利用给出的导数公式求简单函数的导数． 知识点一　导函数 1．利用导数的定义，你能计算出函数f(x)＝＋x在x＝x0处的导数吗？ 提示：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝＋(x0＋Δx)－＝－＋Δx. ＝－＋1.当Δx趋于0时，得到导数 f′(x0)＝ ＝ ＝－＋1. 2．你能求出f′(1)，f′(2)吗？当x0在定义域内任意取值时，f′(x0)的值如何？ 提示：当x0＝1，2时，f′(1)＝0，f′(2)＝.对于定义域中的每一个自变量的取值x0，都有唯一一个导数值f′(x0)＝－＋1与之对应，所以f′(x)＝－＋1是x的函数． 导函数 一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝ ，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，简称为导数，有时也将导数记作y′. [微提醒]　f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，它是一个确定的函数，是对一个区间而言的；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，它是一个确定的值，是函数f′(x)的一个函数值． 利用导函数的定义求函数f(x)＝(2x＋1)(3x－1)的导数，并求x＝0和x＝2处的导数值． 解析：因为f(x)＝(2x＋1)(3x－1)＝6x2＋x－1， 所以f′(x)＝ ＝ ＝ (12x＋6Δx＋1)＝12x＋1， 所以f′(0)＝1，f′(2)＝12×2＋1＝25. 利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤 第一步：确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数； 第二步：计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； 第三步：当Δx趋于0时，得到导函数f′(x)＝ .　　 即时练1.求函数f(x)＝x2＋5x的导函数，并求f′(3). 解析：f′(x)＝ ＝ ＝ (2x＋Δx＋5)＝2x＋5. 所以f′(3)＝2×3＋5＝11. 即时练2.利用导数定义求f(x)＝1的导函数，并求f′(2)，f′(3). 解析：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝1－1＝0，故＝0， 当Δx趋于0时，趋于0，所以f′(x)＝0. 所以有f′(2)＝0，f′(3)＝0. 知识点二　基本函数的导数 下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数： f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝1×x1-1； f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2-1； f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3-1； f(x)＝＝x-1⇒f′(x)＝－x-2＝－x-1-1； f(x)＝＝x⇒f′(x)＝x－＝x-1. 你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？ 提示：通过观察，我们发现这几个幂函数的导数有规律，即(xα)′＝αxα-1. 基本函数的导数公式 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝0 y＝xα(α是实数) y′＝αxα-1 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝ax_ln_a，特别地 (ex)′＝ex y＝logax(a>0，a≠1) y′＝，特别地 (ln x)′＝ y＝sin x y′＝cos_x y＝cos x y′＝－sin_x y＝tan x y′＝ [微提醒]　对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝x，所以f′(x)＝x-1. 求下列函数的导数： (1)y＝x13；(2)y＝；(3)y＝log3x；(4)y＝；(5)y＝2cos2－1. 解析：(1)y′＝(x13)′＝13x13-1＝13x12. (2)y′＝()′＝(x)′＝x-1＝x－. (3)y′＝(log3x)′＝. (4)y′＝′＝(x－)′＝－x－-1＝－x－. (5)因为y＝2cos2－1＝cosx，所以y′＝(cos x)′＝－sin x． 求简单函数的导函数的基本方法 1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导． 2．若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．　　 即时练3.(多选)下列结论正确的是(　　 ) A．若y＝3，则y′＝0 B．若y＝，则y′＝－ C．若y＝，则y′＝ D．若y＝，则y′＝ ACD　[对于A，常数的导数为0，故A正确；对于B，y′＝(x－)′＝－x－＝－，故B错误；对于C，y′＝(x)′＝x－＝，故C正确；对于D，因为y＝＝x，所以y′＝′＝x＝，故D正确．故选ACD.] 即时练4.函数y＝2sin cos 的导函数为______． 解析：因为y＝2sin cos ＝sin x，所以y′＝cos x. 答案：cos x 导数公式的应用 点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 解析：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e