第二章 1.1 平均变化率 1.2 瞬时变化率-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§1　平均变化率与瞬时变化率 1．1　平均变化率 1．2　瞬时变化率 [学习目标]　1.通过实例分析，了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率与瞬时变化率的实际意义．　2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． 知识点一　平均变化率 下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况： x/min 0 10 20 30 40 50 60 y/ ℃ 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9 观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 提示：每10分钟病人的体温变化不相同，从20分钟到30分钟变化最快，用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢． 平均变化率 1．定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝． 把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝． 2．作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． [微提醒]　(1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零． (2)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快． 已知函数f(x)＝2x2－1. (1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． 解析：(1)由f(x)＝2x2－1，得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2，Δx＝2.01－2＝0.01， 所以＝＝8.02. (2)因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2－1－2x＋1＝2Δx(2x0＋Δx)， 所以＝＝4x0＋2Δx. 求函数f(x)平均变化率的三个步骤 第一步：求函数值的改变量：Δy＝f(x2)－f(x1)； 第二步：求自变量的改变量：Δx＝x2－x1； 第三步：作商：＝.　　 即时练1.某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈.分别求s(t)在区间和上的平均速度． 解析：物体在区间上的平均速度为1＝＝＝. 物体在区间上的平均速度为2＝＝＝. 知识点二　瞬时变化率 物体做自由落体运动的方程是h(t)＝gt2，其中g为重力加速度，如何求该物体在[3，3＋Δt]这段时间内的平均速度？当Δt趋近于0时，平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：因为Δh＝g(3＋Δt)2－×9g＝g(Δt)2＋3gΔt，所以该物体在[3，3＋Δt]这段时间内的平均速度＝＝gΔt＋3g＝g. 当Δt趋近于0时，趋近于3g，这时的平均速度即为当t＝3时的瞬时速度． 瞬时变化率 1．定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝．如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率． 2．作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． [微提醒]　平均变化率与瞬时变化率的关系： (1)区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在某一点处变化的快慢； (2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，这个值即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值． 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． 解析：因为＝＝＝3＋Δt， 当Δt趋于0时，趋于3，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. [变式探究] 1．(变设问)若本例中的条件不变，试求物体的初速度． 解析：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，因为＝＝＝1＋Δt，当Δt趋于0时，趋于1，即物体的初速度为1 m/s. 2.(变设问)若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解析：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又＝＝＝(2t0＋1)＋Δt.当Δt趋于0时，趋于2t0＋1，则2t0＋1＝9，所以t0＝4.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 　 求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤 第一步：求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：计算，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止； 第三步：将Δx＝0代入化简后的即得瞬时变化率．　 即时练2.一个小球