第二章 综合检测卷(一)-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

综合检测卷(一) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2023·广东广州期末)数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为(　　) A.an＝2n B．an＝2n－1 C.an＝2n+1 D．an＝2n＋1 D　[因为3＝21＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，17＝24＋1，33＝25＋1，……，所以数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式可以为an＝2n＋1.故选D.] 2．(2023·河南郑州期末)已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a5＝10，且a4·a6＝96，则公差为(　　) A．－2 B．2 C．－2或2 D．4 B　[设等差数列{an}的公差为d，因为an>0，所以d>0，因为a4·a6＝＝＝96，所以d＝2或d＝－2(舍)，所以等差数列{an}的公差为2.故选B.] 3．(2023·安徽合肥期末)已知函数f(x)＝ax3－x＋b，若f′(1)＝2，f′(x)为f(x)的导函数且f(1)＝5，则b＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 A　[f′(x)＝3ax2－1，所以 解得：a＝1，b＝5.故选A.] 4．(2023·福建福州期中)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′＋ln x，则f(e)的值为(　　) A．－e B．－1 C．－ D．1 B　[因为f(x)＝2xf′＋ln x，所以f′(x)＝2f′＋，令x＝e，可得f′＝2f′＋，即f′＝－，所以f(x)＝－x＋ln x，可得f＝－×e＋ln e＝－2＋1＝－1.故选B.] 5．当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得极小值4，则a＋b＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 A　[f(x)＝a ln x＋，f′(x)＝－，根据题意有f′(1)＝a－＝0，且f(1)＝b＋1＝4，解得a＝4，b＝3，a＋b＝7.此时f′(x)＝－＝，x∈，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数单调递减；当x∈时，f′(x)>0，函数单调递增．函数在x＝1处取极小值，满足题意．故选A.] 6．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为(　　) A．1.5尺 B．4.5尺 C．3.5尺 D．2.5尺 B　[设等差数列为{an}，公差为d， 解得 所以立夏日影长为a10＝4.5.故选B.] 7．(2023·江苏连云港期末)设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有xf′(x)>2f(x)，则不等式4f(x－2 022)－(x－2 022)2f(2)<0的解集为(　　) A．(0，2 023) B．(2 022，2 024) C．(2 022，＋∞) D．(－∞，2 023) B　[由题知，函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有xf′(x)>2f(x)，即xf′(x)－2f(x)>0，设g(x)＝， 所以g′(x)＝＝>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为4f(x－2 022)－(x－2 022)2f(2)<0，所以<，所以 解得2 022<x<2 024，所以不等式4f(x－2 022)－(x－2 022)2f(2)<0的解集为(2 022，2 024).故选B.] 8．(2023·天津静海区期中)设命题P：已知定义在(0，＋∞)的可导函数f(x)，其导函数f′(x)＝x ln x－x，存在k∈R，使得∀x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，k≤恒成立．命题Q：存在k∈R，使得an＝n2－n为递增数列．则Q是P的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B　[依题意，∀x1，x2∈(0，＋∞)，不妨令x1>x2，k≤⇔f(x1)－kx1≥f(x2)－kx2，令g(x)＝f(x)－kx，即有g(x1)≥g(x2)，而g′(x)＝f′(x)－k不可能恒为0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上递增，故g′(x)≥0，即k≤f′(x)恒成立，令h(x)＝f′(x)＝x ln x－x，x>0，求导得h′(x)＝ln x，当0<x<1时，h′(x)<0，当x>1时，h′(x)>0，即h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(x)min＝h(1)＝－1，故k≤－1，于是命题P为真：k≤－1，数列{an}是递增数列，则∀n∈N*，an＋1－an>0，即(n＋1)2－(k－2)(n＋1)