第二章 培优微课7 导数与不等式问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

导数与不等式有关的问题，一是与不等式恒成立、能成立有关；二是不等式的证明；主要是灵活应用函数与方程和转化的思想方法，从而转化为与函数的最值有关的问题． 一、利用导数解决恒成立问题 设函数f(x)＝ln x－ax. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a>0时，若f(x)<0在上恒成立，求a的取值范围． 解析：(1)已知f(x)＝ln x－ax，则函数f(x)的定义域为，且f′(x)＝－a， 当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在上单调递增； 当a>0，且x∈时，f′(x)>0，此时f(x)在上单调递增； x∈时，f′(x)<0，此时f(x)在上单调递减． 综上所述，当a≤0时，f(x)在定义域上单调递增； 当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)当a>0时，f(x)<0在上恒成立， 即a>在上恒成立，设g(x)＝，则g′(x)＝， 当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)为增函数；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)为减函数． 所以g(x)max＝g＝＝，则a>g(x)max＝，所以a的取值范围为. 1．将不等式转化为f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于f(x)min>A在区间D上恒成立． 2．将不等式转化为f(x)<A在区间D上恒成立，则等价于f(x)max<A在区间D上恒成立．　　 即时练1.已知函数f(x)＝ex＋ax，其中a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若对于任意的x1，x2∈，且x1<x2，都有x2·f－x1·f<a成立，求a的取值范围． 解析：(1)f′(x)＝ex＋a， 当a≥0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增， 当a<0时，令f′(x)＝0，ex＝－a，解得x＝ln (－a)， 当x∈(ln (－a)，＋∞)，f′(x)>0，当x∈(－∞，ln (－a))，f′(x)<0， 所以函数f(x)在(ln (－a)，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln (－a))上单调递减． 综上，当a≥0时，f(x)在R上单调递增， 当a<0时，函数f(x)在(ln (－a)，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln (－a))上单调递减． (2)对于任意的x1，x2∈，且x1<x2，都有x2·f－x1·f<a成立， 可得x2f(x1)＋ax2<ax1＋x1f(x2)，即<恒成立， 令g(x)＝＝，则g′(x)＝＝≥0恒成立， 所以a≤(x－1)ex在上恒成立， 令h(x)＝(x－1)ex，则h′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex>0， 所以函数h(x)＝(x－1)ex在上单调递增，故h(x)min＝0，所以a≤0，所以a的取值范围是(－∞，0]. 二、利用导数解决能成立问题 已知函数f(x)＝ex－ax－1，g(x)＝xex－a(其中a∈R). (1)当a>0时，证明函数g(x)的图象与x轴正半轴只有一个交点； (2)若存在x∈R，使不等式f(x)<－e－1成立，求a的取值范围． 解析：(1)证明：因为g(x)＝xex－a， 所以g′(x)＝ex>0， 所以g(x)＝xex－a在上为增函数， 又a>0，所以g(0)＝－a<0，g＝aea－a>0， 所以函数g(x)的图象与x轴正半轴只有一个交点． (2)当a>0时，f′(x)＝xex－a，由(1)可知，存在x0使f′＝0，即a＝x0ex0， 所以当x<x0时，f′(x)<0，f(x)在上为减函数； 当x>x0时，f′(x)>0，f(x)在上为增函数， 所以f(x)min＝f＝ex0－ax0－1＝ex0－xex0－1＝ex0－1， 由a＝x0ex0，知x0>0，设h(x)＝ex－1(x>0)，则h′(x)＝ex<0(x>0)， 所以h(x)在上为减函数， 又h＝－e－1， 所以当0<x0<1时，f>－e－1； 当x0>1时，f<－e－1， 所以存在x0∈R，使不等式f<－e－1成立，此时a＝x0ex0>e； 当a＝0时，由(1)知，f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数， 所以f(x)≥f(0)＝－2>－e－1，所以不存在x∈R，使不等式f(x)<－e－1成立； 当a<0时，取x<<0，即－ax<－e－1，所以ex－ax－1<－e－1， 所以存在x∈R，使不等式f(x)<－e－1成立， 综上所述，a的取值范围是{a|a<0或a>e}． 　 1．若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于f(x)max>A在区间D上成立． 2．若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<A成立，则等价于f(x)min<A在区间D上成立．　 即时练2.已知函数f(x)＝ax－ln x＋(a∈R). (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若存在x0∈(1，＋∞)，使不等式f<2a－1成立，求实数a的取值范围